Question

Pomoc - Geometria analityczna Trójkąt prostokątny ABX, gdzie A = (5, - √7 + 1) i B = (-1, √7 + 1), jest wpisany w okrąg (x-2)² + (y-1)² = 16. Wyznacz współrzędne trzeciego wierzchołka tego trójkąta. Ile jest punktów X spełniających warunki zadania?

Answer 1

ΔABX, gdzie A = (5, - √7 + 1) i B = (-1, √7 + 1) to trójkąt prostokątny wpisany w okrag o równaniu (x - 2)² + (y - 1)² = 16

 

Jeśli ΔABX to trójkąt prostokątny wpisany, to średnica okręgu jest przeciwprostokatną trójkąta, a środek przeciwprostokątnej jest środkiem okręgu.

 

Dany okrąg ma równanie (x - 2)² + (y - 1)² = 16, zatem jest to okrąg o środku w punkcie O = (2; 1) i promieniu r = √16 = 4, czyli średnica ma długość 2·4 = 8.

 

Obliczamy długość boku AB, gdzie A = (5, - √7 + 1) i B = (-1, √7 + 1) korzystając ze wzoru n długość odcinka:

 

Bok AB to średnica okręgu, bo długość boku AB wynosi |AB| = 2r = 2·4 = 8

 

Sprawdzamy czy jej środek S pokrywa się ze środkiem okregu O = (2, 1), korzystamy ze wzoru na środek odcinka:

 

Zatem środek okręgu to środek boku AB.

 

Stąd wniosek, że że X ma dowolne współrzędne, bo X to każdy punkt należący do okręgu o równaniu (x - 2)² + (y - 1)² = 16 oprócz punktów A i B, a takich punktów jest nieskończenie wiele.

 

Np. punkt X może mieć wspólrzedne: (6; 1), (- 2; 1), (2; - 3), (2; 5) itd.