Question

Pole powierzhni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego wynosi 216 cm kwadratowych. Pole podstawy stanowi 20% pola powierzchni bocznej. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Prosze o wytłumaczenie i rozwiązanie. Nagroda punktwoa jest współmierna do poziomu trudności zadania. Pozdrawiam i licze na pomoc !

Answer 1

Taki ostr. ma w podstawie kwadrat.
Mamy policzyć V=1/3 Ppodst.*h
Policzmy Ppodstawy, które stanowi 20% Ppow.bocznej.
Z treści zad.wynika, że całość pow.trzeba podzielić przez 6.
5 części to Ppow.b. a 1 część.to Pp.
Sprawdźmy: 216/6=36cm^2, tzn Ppb.=180cm^2.
Bok kwadratu w podst. ma dł.pierwiastek z 36=6cm.
Popatrz na rys.3. (siatka). Jeden taki trójkąt (bok)
ma pow.180/4=45cm^2. Podstawa jego to 6cm.
Ze wzoru na Pow.trójkąta Ptr.=1/2 a*h oblicz jego h.
(h to wys trójkąta) 45=1/2*6*h; 45=3h, h=15.
To nasze h to nic innego jak odcinrk GE (rys.2)
Z tego trójkąta (rys.2) masz GE=15, oraz FG=3 (połowa podstawy.
Z tw.Pitagorasa policz H ostrosłupa (FE). To ta wysokość brakuje do rozwiązania
pierwszego wzoru, który podałem.

Answer 2

Pole powierzchni bocznej ostrosłupa - x

Pole powierzchni podstawy ostrosłupa - 0.2x(Pp podstawy stanowi 20% Pb)

 

Obliczamy wartość naszego x,mając Pole i Powierzchnię podstawy.

x + 0.2x = 216 cm2

1.2x = 216 cm2 / : 1.2

x = 180

0.2x = 36

 

Obliczamy długość krawędzi naszej podstawy(oznaczymy ją literką a)

a = pierwiastek z (0.2x) = pierwiastek z 36 = 6

 

Odcinki będące wysokościami trójkątów tego ostrosłupa są równej długości(są to trójkąty przystające czyli takie,które po nałożeniu na siebie będą takie same)

Obliczmy ich długość,wiedząc że wysokości są równe polu powierzchni bocznej

 

6(h1 + h2 + h3 + h4) : 2 = 216 cm - 36 cm = 180 cm

4h = 60

h1 = h2 = h3 = h4 = 15 cm

 

Robiąc przekrój płaszczyzny z dwóch wysokości  powstaje nam trójkąt równoramienny który ma długość 6,15 oraz 15.Wysokość opuszczona na bok o długości 6 będzie też wysokością tego ostrosłupa.

Obliczymy ją korzystając z Twierdzenia Pitagorasa.

H=√[15^2-(a/2)^2]=√(215-3^2)=√206

Teraz możemy obliczyć objętość tego ostrosłupa.

V=⅓∙a^2∙H=⅓∙9∙√206=3√206

Odpowiedź : Objętość tego graniastosłupa wynosi 3 pierwiastki z 206.