Question

Podstawa trójkąta ABC ma długość 12. Kąty przy podstawie mają miary 30 i 45 stopni. Oblicz pole i obwód tego trójkata.

Answer 1

a = 12 ,        P, ob = ?                         P = ½ ·a·h ,         ob = a + b + c

                                           (rysunek w załączniku)

 

Trójkąt BCD jest prostokątny równoramienny, więc  h = a - x = 12 - x.

Stąd   b = (12 - x)√2 = 12√2 - x√2.

Z ΔADC :     h                                   12 -x         1

                    ----- = sin 30° ,             ----------  = -------          ⇒   c = 2(12 - x) = 24 - 2x

                      c                                       c           2

 

Także z ΔADC , stosując tw. Pitagorasa mamy:

            x² + h² = c²

          x² + (12 -x)² = (24 -2x)²

     x²+ 144 -24x +x² = 576 - 96x + 4x²

        -2x² + 72x - 432 = 0       /:(-2)

           x² -36x + 216 = 0

      Δ 1296 - 864 = 432,       √Δ = √432 = √(16·9·3) = 12√3

       x₁ = (36+12√3)/2 = 18 + 6√3,            x₂ = (36 -12√3)/2 = 18 -6√3

Czyli:     x = 18 + 6√3                      lub                     x = 18 - 6√3

            12-x = 12 -18 -6√3=                                   12-x = 12 -18 +6√3 = 6√3 - 6

                    =  -6 -6√3  < 0                                    

                sprzeczne z treścią                                     b = 12√2 - √2(18-6√3) =

                                                                                         = 12√2 - 18√2 + 6√6 = 6√6 - 6√2

                                                                                 c = 24 -2x = 24 -2(18-6√3) =

                                                                                    = 24 -36 +12√3 = 12√3 - 12

P = ½ · 12 · (6√3 - 6) = 6· (6√3 - 6) = 36(√3 - 1) [cm²]

ob = 12 + 6√6 - 6√2 + 12√3 - 12 = 6√6 - 6√2 + 12√3 = 6(√6 -√2 +2√3) [cm]