Question

Podstawą trapezu równoramiennego ABCD jest średnica półokręgu stycznego do podstawy CD i przecinającego ramiona w punktach E i F będących środkami tych ramion.
Niech kąt ABE= alfa
Wykaż, że sina*cosa=1\4

Answer 1

Odpowiedź:

[tex]sin\alpha\cdot cos\alpha=\frac{1}{4}[/tex]

Szczegółowe wyjaśnienie:

Oznaczenia jak na rysunku

[tex]|AB|=a\\|AD|=|CB|=2c\\|AE|=|ED|=c\\|GO|=\frac{1}{2}|AB|=\frac{1}{2}a=|DH|\\|EB|=d[/tex]

1. Trójkąt ABE

Okrąg o środku w punkcie O i promieniu [tex]\frac{1}{2}a[/tex],  jest okręgiem opisanym na trójkącie ABE.

AB to średnica tego okręgu.

Kąt wpisany oparty na półokręgu, jest kątem prostym.

[tex]|\angle AEB|=90^o[/tex]

2. Trójkąty  EBD i ABE są przystające.

Kąty przylegle mają w sumie 180°.

[tex]|\angle DEB|=180^o-|\angle AEB|=180^o-90^o=90^o\\[/tex]

[tex]|EB|=|EB|[/tex] - bok wspólny\\

[tex]|AE|=|ED|=c\\[/tex]

(cecha bkb)

3. Wyznaczam a²

(z pola trójkąta ABD)

[tex]P_{ABD}=\frac{1}{2}|AB||DH|\\\\P_{ABD}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot\frac{1}{2}a\\\\P_{ABD}=\frac{a^2}{4}\\\\\\P_{ABD}=\frac{1}{2}|AD||EB|\\\\P_{ABD}=\frac{1}{2}\cdot2c\cdot d\\\\P_{ABD}=cd\\\\\\\frac{a^2}{4}=cd\ \ \ |\cdot 4\\\\a^2=4cd[/tex]          

4. Obliczam wartość sinα cosα

(z trójkąta ABE)

[tex]sin\alpha\cdot cos\alpha=\frac{c}{a}\cdot\frac{d}{a}\\\\sin\alpha\cdot cos\alpha=\frac{cd}{a^2}\\\\sin\alpha\cdot cos\alpha=\frac{cd}{4cd}\\\\sin\alpha\cdot cos\alpha=\frac{1}{4}[/tex]