Question

Podstawą graniastosłupa prostego jest romb. Graniastosłup ma wysokość 12 cm. Dłuższa przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem alfa 45 stopni, a krótsza pod kątem beta 60 stopni. Oblicz długość krawędzi podstawy.

Answer 1

przekątna graniastosłupa, wysokość graniastosłupa (h) oraz przekątna podstawy (d₁) tworzą trójkąt prostokątny o kącie prostym pomiędzy przekątną podstawy(rombu) oraz wysokości graniastosłupa.

Z definicji f. trygonometrycznych:

tgα = h / d₁

tg45⁰ = 12 / d₁

1 = 12 / d₁

d₁ = 12

podobnie z drugą przekątną graniastosłupa, kątem β oraz drugą przekątną podstawy (d₂)

tgβ = h / d₂

tg60⁰ = 12 / d₂

√3 = 12 / d₂

d₂ = 12√3 / 3

d₂ = 4√3

Niech a oznacza długość krawędzi rombu, czyli długość krawędzi podstawy.

Mamy wyznaczone długości przekątnych podstawy - rombu. Przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym dokładnie w połowie ich długości. W związku z tym:

(d₁/2)² + (d₂/2)² = a²

6² + (2√3)² = a²

a² = 36 + 4*3

a² = 48

a = √48 = 4√3