Question

Podaj ostatnią cyfrę liczby : (trzeba spotęgować i ostatnia) :

a) 2¹⁴⁷ =

b) 3¹⁵⁰ =

c) 7¹²⁵ =

d) 25¹²⁵ =

e) 14¹⁰⁰⁰ =

f) 138⁶³ =

Answer 1

a. 8

b. 9

c. 7

d. 5

e. 6

f.2

 

Gdy podstawa kończy się na 0,1,5,6 - potęga kończy się na tę samą cyfrę
Gdy podstawa kończy się na 9, potęga nieparzysta kończy się na 9, parzysta na 1
Gdy podstawa kończy się na 4, potęga nieparzysta kończy się na 4, parzysta na 6
Dla pozostałych końcówek podstawy (tj. gdy podstawa kończy się na 2, 3,7 lub 8), ostatnie cyfry kolejnych potęg powtarzają się w cyklu o długości 4 (a więc nie chodzi o to, że wykładnik dzieli się przez "jakąś" liczbę, tylko dokładnie przez 4).

Spójrz na tabelkę: gdy wykładnik przy dzieleniu przez 4 daje (odpowiednio) resztę 1, 2, 3, 0, to :
-Dla podstaw kończących się na 2 - w potęgach cyklicznie powtarzają się końcówki 2, 4, 8, 6
-Dla podstaw kończących się na 3 - w potęgach cyklicznie powtarzają się końcówki 3, 9, 7, 1
-Dla podstaw kończących się na 7 - w potęgach cyklicznie powtarzają się końcówki 7, 9, 3, 1
-Dla podstaw kończących się na 8 - w potęgach cyklicznie powtarzają się końcówki 8, 4, 2, 6

W powyższej tabelce masz pod wartościami reszt z dzielenia wykladnika przez 4 końcówki potęg o takim wykładniku dla poszczególnych podstaw.
Widzisz więc, że potęga kończy się na 1 w przypadku, gdy wykładnik dzieli się bez reszty przez [u:9ef0260b31]cztery[/u:9ef0260b31], ale tylko wtedy, gdy podstawa kończy się na 3 albo na 7 .
A oprócz tego, gdy podstawa kończy się na 9, a wykładnik jest parzysty.
A ponadto zawsze, gdy podstawa kończy się na 1, niezależnie od wykładnika.