Question

Podaj odpowiedzi:
1. największe pole prostokąta o przekątnej długości 3 wynosi?
2. największa wartość wyrażenia x²(4-x²) dla x∈[-2,2]?
([..]-przediał obustronnie domknięty)

Answer 1

Ad1)
Oznaczamy boki trójkąta jako a i b, oraz a i b należą do R dodatnich
Z Pitagorasa otrzymujemy zależność:
a²+b²=3²
czyli: a²+b²=9
Pole trójkąta:
P=a*b
a²+b²=9 /-b²
a²=9-b²
a=pierwiastek (9-b²) lub a=-pierwiastek (9-b²) (ale to jest 2 sprzeczne bo długość boku nie może być ujemna.(dziedzina)
Podstawiając do P otrzymujemy
P=b*pierwiastek (9-b²)
f(b)=b*pierwiastek (9-b²) / ²
f(b)=b²*(9-b²)
Pomocniczo: b²=x, zatem:
f(x)x(9-x) (ramiona tej funkcji skierowane są do dołu, zatem max - w punkcie x=(-b/2a)
-b=-9
a=-1
x=-9/-2 x=4,5
b=pier(4,5) lub b=-pier(4,5) (ale sprzeczne bo b należy do R dodatnich)
zatem a=pierwiastek z(9-b²), podstawiając otrzymujemy:
a=pierwiastek z (9-(pier(4,5)²)
a=pier (9-4,5)
a=pier 4,5
Odp. Dla a i b równego pierwiastek z 4,5.

Ad2)
pomocniczo:
x²=p
zatem:
p(4-p)
f(p)=p(4-p) (ramiona tej funkcji skierowane są do dołu, zatem max - w punkcie p=(-b/2a)
-b=-4
a=-1
p=-4/-2
p=2

x²=2
x=pierwiastek z 2 lub x=-pierwiastek z 2
obydwa rozwiązania należą do dziedziny (przedziału)