Question

Podaj dla jakich wartości parametru a równanie |x+5|+|x-5|=ax ma więcej niż jedno rozwiązanie.

Wiem, że moduły trzeba rozbić na 3 przypadki, rysuje ich wykres, ale nie mam pojęcia co zrobić z tym ax by określić wartości a... Dzięki za pomoc!

Answer 1

Ix+5I= x+5, gdy x+5≥0⇒x≥-5
          -x-5, gdy x+5<0⇒x<-5

Ix-5I=  x-5,gdy x-5≥0 ⇒x≥5
         -x+5, gdy x-5<0⇒x<5
Liczby -5 i 5 podzieliły oś liczbową na trzy przedziały:
(-∞, -5),  <-5,5), <5,∞)
1) x∈(-∞,-5)
Równanie ma postać:
-x-5 -x+5=ax
-2x=ax
Jeśli a=-2, to równanie ma nieskończoną ilość rozwiązań, dla a≠ -2 ma tylko jedno rozwiązanie x=0.
ax+2x=0
x(a+2)=0
x=0/(2+a)=0
2)  x∈<-5,5)
Równanie ma postać :
x+5 -x+5=ax
10 =ax ⇒ x= 10/a  dla a≠0  - równanie ma jedno rozwiązanie.
3) x∈<5,∞)
Równanie ma postać:
x+5 +x-5=ax
2x =ax
Jeśli a=2, to równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań, dla a≠2 ma tylko jedno rozwiązanie x=0
2x-ax=0
x(2-a)=0
x= 0/(2-a)
x=0
Odp. Jeśli a∈{-2,2}, to równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań.