Question

PILNE!!!

Wyznaczyć długość odcinka dwusiecznej kąta wewnętrznego przy wierzchołku B wyciętego przez bok trójkąta ABC, jeżeli dane są długości boków a, b, c.

Answer 1

Boki trójkąta ABC oznaczam:  IABI = c,  IBCI = a,  IACI = b.

Dwusieczna ∢ABC przecina bok AC w punkcie D.

Korzystam z twierdzenia o dwusiecznych kąta w trójkącie:

   Dwusieczna kata wewnętrznego trójkata dzieli bok przeciwległy na 2 odcinki, których stosunek długości jest równy stosunkowi długości pozostałych boków.

 W naszym trójkącie będzie zatem:

     IADI           c

    ---------- =  --------

     IDCI          a

     Ponadto:  IADI + IDCI = b.

Stanowi to układ równań, z którego wyliczyć należy długości odcinków AD oraz DC.

    IADI = IDCI ·  c/a

   Po podstawieniu do drugiego równania mamy:

  IDCI · c/a + IDCI = b

   IDCI ( c/a + 1) = b

   IDCI [(c+a) / a] = b

   IDCI = b : (c+a)/a  = b · a/ (c+a) = ab / (a+c)

   IADI = ab / (a+c)  · c/a = bc / (a+c)

Stosując tw. cosinusów do obu trójkątów mamy:

 IDCI² = a²+IBDI² -2a·IBDI · cos β/2            (β - kąt ABC)

 IADI² = c²+IBDI² -2c·IBDI · cos β/2

   Po podstawieniu po lewych stronach równości mamy:

 (ab/(a+c) )² = a² +IBDI² -2a·IBDI·cos β/2

 (bc/(a+c) )² = c² + IBDI² -2c·IBDI ·cos β/2

 Odejmując stronami drugie równanie od pierwszego mamy:

 (ab/(a+c) )² - (bc/(a+c) )² = a² -c² -2a·IBDI·cosβ/2 + 2c·IBDI·cosβ/2

  a²b² - b²c²

----------------------- = a²-c²-2·IBDI·(a-c)cosβ/2

    (a+c)²

                                                 b²(a²-c²)

2IBDI·(a-c)cosβ/2 = a²-c² - -------------------

                                                  (a+c)²

                                                 b²(a-c)(a+c)

2IBDI·(a-c)cosβ/2 = a²-c² - --------------------------

                                                 (a+c)²

                                                   b²(a-c)

2IBDI ·(a-c)cosβ/2 = a² -c² - ------------------------

                                                   a+c

                                       (a²-c²)(a+c) - b²(a-c)

  2IBDI·(a-c)cosβ/2 = ---------------------------------------

                                         a+c

                                        (a-c)(a+c)² -b²(a-c)

 2IBDI ·(a-c)cosβ/2 = ---------------------------------------           /:(a-c)

                                        a+c

                              (a+c)² - b²

 2IBDI cosβ/2 =  ------------------------------                  /:2cosβ/2

                               a+c   

                  (a+c)² -b²

     IBDI = -----------------------------

                  2(a+c)cosβ/2