Question

Pierwszy wyraz nieskończonego ciągu geometrycznego (an) jest równy (-1). Wyraz drugi, trzeci i czwarty spełniają warunek a3 - 2a4=8a2+4
a) oblicz iloraz ciągu
b) określ czy ciąg (an) jest rosnący czy malejący

Answer 1

Wiemy z zadanie, że a₁ = -1. Wyznaczmy a₂, a₃ i a₄
a₂ = a₁ * q = -1 * q = -q
a₃ = a₁ * q² = -1 * q² = -q²
a₄ = a₁ * q³ = -1 * q³ = -q³. Mamy równanie:
a₃ - 2a₄ = 8a₂ + 4. Podstawmy to, co wiemy.
-q² - (-2q³) = -8q + 4
-q² + 2q³ = -8q + 4 / +8q
2q³ - q² + 8q = 4 / - 4
2q³ - q² + 8q - 4 = 0. Weźmy czynnik przez nawias wystawmy.
q²(2q - 1) + 8q - 4 = 0
¼q²(8q - 4) + 8q - 4 = 0
(¼q² + 1)(8q - 4) = 0.
¼q² + 1 = 0
¼q² = -1
q² = -¾
Równanie sprzeczne.
Weźmy drugą część równania.
8q - 4 = 0
8q = 4
q = ½
Zatem iloraz wynosi 0,5. Skoro a₁ = -1 i będziemy mnożyli przez 0,5 otrzymywać będziemy : -1, -0,5; -0,25; -0,125... Zatem będzie malało, więc ciąg ten będzie ciągiem malejącym.