Question

Pierwiastkami wielomianamu W(x)=x³+ax²+bx-48 na liczby -3, 4 wyznacz trzeci pierwiastek tego wielomianu oraz rozłóż go na czynniki.

Answer 1

W(x)=x³+ax²+bx-48

 

W(-3)=0

podstawiam -3 w miejsce x

W(-3)=(-3)^3+a*(-3)^2+b*(-3)-48=-27+9a-3b-48=9a-3b-75

W(4)=0

W(4)=4^3+a*4^2+b*4-48=16a+4b+16

tworzysz układ równań

 

9a-3b-75=0

16a+4b+16=0

 

pierwsze równanie dzielisz na 3, drugie na 4

3a-b=25

4a+b=-4

 

dodajesz stronami oba równania

3a+4a-b+b=25-4

7a=21

a=3

 

4a+b=-4

4*3+b=-4

12+b=-4

b=-16

 

W(x)=x^3+3x^2-16x-48

szukamy trzeciego pierwiastka wśród dzielników wyrazu wolnego czyli liczby -48

dzielniki to +,- 1, +-2 , +-3, +,- 4, +,- 6, +,- 8, +,- 12, +,- 16, +,- 24, +,-48

sprawdzamy po kolei te liczby wstawiając za x do wielomianu

W(1)=1+3-16-48 jest różne od 0

W(-1)=-1+3+16-48 jest różne od 0

W(2)=8+12-32-48 jest różne od 0

W(-2)=-8+12+32-48 jest różne od 0

W(3)=27+27-48-48 jest różne od 0

W(-4)=-64+48+64-48=0

trzecim pierwiastkiem tego wielomianu jest liczba -4

 wielomian po rezłożeniu na czynniki ma postać

W(x)=(x+3)(x-4)(x+4)