Bardzo prosił bym o pomoc . Zadania w załączniku oraz 2 poniżej1. Czy jeżeli granica ciągu wynosi 0 .... Question from @Aaresik

December 2018 1 10 Report

Bardzo prosił bym o pomoc . Zadania w załączniku oraz 2 poniżej

1. Czy jeżeli granica ciągu wynosi 0 to jest on zbiezny ?

2. Oblicz

arctg(ctg 10/PI)

Paawełek 1. Mogą być zbieżne, ale niekoniecznie muszą. To, że granica ma dążyć do zera jest warunkiem koniecznym zbieżności szeregu. Można mówić, że jeśli granica nie wynosi 0 - szereg na pewno jest rozbieżny. Ale jeśli wynosi - nie wiadomo.
W dalszych zadaniach będę używać angielskich skrótów (bo takie obsługuje Latex). tangens - tan , kotangens - cot.
W zadaniu drugim z definicji funkcji arkus tangens mamy:
$\arctan(\cot \frac{\pi}{10})=y \qquad \iff \qquad \tan y = \cot \frac{\pi}{10} \qquad y \in \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) \\ \\ \hbox{Wykorzystuje wzor redukcyjny} \ \ \cot x = \tan (\frac{\pi}{2}-x) \\ \hbox{Skad:} \\ \cot \frac{\pi}{10}=\tan (\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{10})=\tan (\frac{5\pi}{10}-\frac{\pi}{10})=\tan \frac{4\pi}{10}=\tan \frac{2\pi}{5} \\ \hbox{Uzyskuje wiec rownosc:} \\ \tan y = \tan \frac{2\pi}{5} \\ \hbox{W przedziale "y" wyszukuje tylko:} \\ y=\frac{2\pi}{5} \\$
$\hbox{A to oznacza, ze:} \\ \arctan(\cot \frac{\pi}{10})= \frac{2\pi}{5}$
W radianach. Na stopnie jest to 72 stopni.

Zadanie 1. Z załącznika. Wykorzystuję wzór cot x = 1/tan x:
$\lim\limits_{x\to 0} x \cot (3x)=\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{x}{\tan (3x)}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{3x}{3\tan (3x)}=\lim\limits_{x\to 0} \left(\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3x}{\tan(3x)}\right)= \\ \\ = \dfrac{1}{3} \cdot 1=\dfrac{1}{3} \\ \\ \hbox{Wykorzystalem tutaj wzor:} \\ \\ \lim\limits_{x\to 0} \dfrac{x}{\tan x}=1$

W kolejnej granicy będę dzielić licznik i mianownik przez "x" :
$><br /><img src=$

W trzecim wykorzystuję fakt, że cot x = cos x / sin x:
$\lim\limits_{x\to 0 } \left( \dfrac{1}{\sin x}-\cot x\right)=\lim\limits_{x\to 0} \left( \dfrac{1}{\sin x} - \dfrac{\cos x}{\sin x}\right)=\lim\limits_{x\to 0 }\dfrac{1-\cos x}{\sin x} \\ \\ \hbox{Wykorzystam teraz wzor:} \\ \cos(2x)=1-2\sin^2 x \\ \hbox{Z niego wynika, ze:} \\1- \cos (2x) = 2\sin^2 x \\ \hbox{Zamiast "2x" wpisuje "x". Otrzymam zaleznosc:} \\ 1-\cos x= 2 \sin^2 \frac{x}{2} \\ \hbox{Podstawiam i mam do policzenia granice:}$
$\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{2\sin^2 \frac{x}{2}}{\sin x}$
$\hbox{Teraz wykorzystuje zaleznosc:} \\ \sin(2x)=2\sin x \cos x \\ \hbox{Skad:} \\ \sin x = 2\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} \\ \hbox{Mamy wiec do policzenia granice:} \\ \\ \lim\limits_{x\to 0} \dfrac{2\sin^2 \frac{x}{2}}{2 \sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}=\lim\limits_{x\to 0 } \dfrac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}= \lim\limits_{x\to 0} \tan \frac{x}{2}=\tan 0 = 0$
Do zbadania zbieżności szeregu wykorzystam kryterium Cauchy'ego. Mamy:
$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{\pi^{n}}{n}\cdot \dfrac{n!}{(2n)!} \\ \hbox{Zgodnie z kryterium Cauchy'ego znajduje granice:} \\ \lim\limits_{n\to \infty} \sqrt[n]{\dfrac{\pi^{n} \cdot n!}{n \cdot (2n)!}} =\lim\limits_{n\to \infty} \sqrt[n]{\dfrac{\pi ^n}{n}} \cdot \lim\limits_{n\to \infty} \sqrt[n]{\dfrac{n!}{(2n)!}} \\ \hbox{Z obliczeniem pierwszej granicy nie ma problemu. Ze wzoru:} \\ \lim\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{n}=1 \\ \lim\limits_{n\to \infty} \sqrt[n]{\dfrac{\pi^n}{n}}=\dfrac{\pi}{1}=\pi$
$\hbox{W przypadku drugiej, zauwaz, ze:} \\ \\ \dfrac{n!}{(2n)!}= \dfrac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot n}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot n \cdot (n+1) \cdot (n+2) \cdot ... \cdot (n+n)}=\\ \\ =\dfrac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)...(n+n)} \\ \\ \hbox{Poniewaz} \\ \lim\limits_{n\to \infty} \sqrt[n]{n!}=+\infty \\ \hbox{To na pewno rowniez:} \\ \lim\limits_{n\to \infty} \sqrt[n]{(n+1)(n+2)...(n+n)}=+\infty \\ \hbox{Skad:} \\ \\ \lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{n!}{(2n)!}=\left[ \dfrac{1}{\infty}\right]=0 \\$
$\hbox{Tak wiec granica ciagu wynosi} \ \ \pi \cdot 0 =0$

Ponieważ granica wynosi 0, a więc jest mniejsza niż 1, to zgodnie z kryterium Cauchy'ego szereg jest zbieżny

2 votes Thanks 2