Question

Pewna kobieta żyła 90 lat. Iloczyn wszystkich czterech cyfr roku jej urodzenia jest równy 72. Rok śmierci różni się od roku urodzenia jedynie kolejnością dwóch środkowych cyfr, które są kolejnymi liczbami naturalnymi. Oblicz rok urodzenia się tej kobiety, jeśli pierwsza cyfra roku jej urodzenia jest równa 1. Rozważ wszystkie przypadki.

Answer 1

1 - cyfra tysięcy
x - cyfra setek
y - cyfra dziesiątek
z - cyfra jedności
x,y,z ∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

1000+100x+10y+z - rok urodzenia
1000+100y+10x+z - rok śmierci
1·xyz=xyz - iloczyn cyfr
72 - iloczyn cyfr

1000+100y+10x+z-(1000+100x+10y+z)=1000+100y+10x+z-1000-100x-10y-z=-90x+90y - wiek
90 - wiek

Porównujemy wiek:
-90x+90y=90 /:90
-x+y=1
y=1+x

Porównujemy iloczyn cyfr
xyz=72
72=2·2·2·3·3
Ponieważ cyfra dziesiątek musi być o 1 większa od cyfry setek, więc mogą zajść przypadki:
------------------
72=2·3·12
z=12 - nie należy do {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
------------------
72=3·4·6
x=3
y=4
z=6

rok urodzenia:
1346
------------------
72=1·2·36
z=36 - nie należy do {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
------------------
72=8·9·1
x=8
y=9
z=1
rok urodzenia:
1891