Question

Okrąg o równaniu (x+3)^2 + (y-2)^2 = 25 opisano na trójkącie równoramiennym ABC (|AC|=|BC|) punkty Ai B należą do osi OY a wierzchołek C do drugiej ćwiartki układu współrzędnych. Wyznacz współrzędne wierzchołka C. oblicz obwód trójkąta

Answer 1

( x + 3)^2 + ( y - 2)^2 = 25

Mamy

S = ( -3 ; 2)  oraz  r = 5

Punkty A ,  B  leżą na osi OY

oraz I AC I = I BC I

Trójkąt równoramienny ABC jest wpisany w dany okrąg.

Szukam współrzędnych punktów A i B

Ponieważ leżą na osi OY  zatem trezba rozwiązać układ równań:

( x + 3)^2 + ( y - 2)^2 = 25

x = 0

-----------------------

Mamy

9 + ( y -2)^2 = 25

(y -2)^2 = 25 - 9 = 16

y - 2 = - 4   lub  y - 2 = 4

y = -2         lub       y = 6

Mamy zatem

A = (0; -2), B = ( 0; 6 )

=======================

Ponieważ  I AC I = I BC I , zatem punkt C  leży na symetralnej odcinka AB:

Niech D  - środek odcinka AB , więc

D = ( 0; (-2 +6)/2 ) = ( 0; 2)

Symetralna boku AB to prosta prostopadła do osi OY  i przechodząca przez  punkt D,

czyli ma równanie

y = 2

======

Rozwiązuję teraz układ równan :

( x + 3)^2 + (y -2)^2  = 25

y = 2

----------------------------------

(x +3)^2  + 0^2 = 25

(x +3)^2 = 25

x + 3 = - 5  lub  x = 3 = 5

x = - 8  lub  x = 2

Ponieważ punkt C jest w  II ćwiartde, zatem   x  = - 8

Odp. C = ( - 8 ; 2)

=====================

Obwód trójkąta

Mamy

I AB I = 6 - (-2) = 8

B = ( 0; 6)

I BC I^2 = ( - 8 - 0)^2 + (2 - 6)^2 = (-8)^2 + (-4)^2 = 64 + 16 = 80 = 16*5

czyli   I BC I = p( 16*5) = 4 p(5)

oraz I AC I = 4 p(5)

Obwód

L = I AB I + I BC i + I AC I = 8 + 4 p(5) + 4 p(5) = 8 + 8 p(5)

=======================================================