Question

Obliczyć potencjał V i natężenie pola elektrycznego E na zewnątrz sfery o promieniu R, naładowanej ładunkiem o gęstości powierzchniowej σ. Jakie będą natężenie pola elektrycznego i potencjał wewnątrz kuli?

Answer 1

Na zewnątrz sfery:

[tex]E=\frac{\sigma}{\epsilon_0}[/tex]

[tex]V=\frac{1}{\epsilon_0} *\frac{\sigma*R^2}{r}[/tex]

Wewnątrz sfery:

[tex]E=0[/tex]

[tex]V=\frac{1}{\epsilon_0} *\sigma*R[/tex]

Rysunki w załączniku.

Naładowana sfera.

Krok 1

Najpierw policzymy ładunek, jaki zgromadził się na powierzchni sfery.

Gęstość powierzchniowa to ilość ładunku na jednostkę powierzchni. Możemy w związku z tym zapisać wzór:

Wzór 1

[tex]\sigma=\frac{Q}{S}[/tex]

Po przekształceniu i podstawieniu wzoru na powierzchnię sfery mamy:

Wzór 2

[tex]Q=\sigma*4\pi R^2[/tex]

Krok 2

Natężenie pola elektrycznego policzymy z prawa Gaussa.

Prawo Gaussa:

Całkowity strumień pola elektrycznego przez zamkniętą powierzchnię jest więc równy całkowitemu ładunkowi otoczonemu przez tę powierzchnię podzielonemu przez ε0.

Możemy to zapisać:

[tex]E*S=\frac{Q}{\epsilon_0}//S\\E=\frac{Q}{S*\epsilon_0}[/tex]

Podstawiając wzór 1 mamy:

[tex]E=\frac{\sigma}{\epsilon_0}[/tex]

Krok 3

Wewnątrz sfery nie występuje ładunek elektryczny, w związku z tym zgodnie z prawem Gaussa, natężenie pola elektrycznego wewnątrz sfery jest równe 0.

Krok 4

Potencjał na zewnątrz sfery policzymy ze wzoru:

Wzór 3

[tex]V=k*\frac{Q}{r}[/tex]

gdzie r to odległość od środka sfery, a k:

[tex]k=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}[/tex]

Podstawiając za Q wzór 2 mamy:

[tex]V=\frac{1}{4\pi \epsilon_0} *\frac{\sigma*4\pi R^2}{r}\\V=\frac{1}{\epsilon_0} *\frac{\sigma*R^2}{r}[/tex]

Krok 5

Wewnątrz sfery potencjał jest stały i równy potencjałowi występującemu na powierzchni sfery, a więc w odległości R od środka sfery. Możemy to zapisać:

[tex]V=\frac{1}{\epsilon_0} *\frac{\sigma*R^2}{r}\\V=\frac{1}{\epsilon_0} *\frac{\sigma*R^2}{R}\\V=\frac{1}{\epsilon_0} *\sigma*R[/tex]

#SPJ1