Question

Oblicz: |x| + |x-2| = 2 Prosiłbym o szczegółowe wyjaśnienia dlaczego zmieniaja sie znaki w poszczególnych trzech przypadkach: (- nieskończoność,0), <0,2) i <2, +nieskończoność)

Answer 1

|x| + |x - 2| = 2

  0          2

 

1.  x ∈ (-oo, 0> to biorę dowolna liczbę należacą do tego przedziału np x = -1 i podstawiam do naszego równania, jeśli po podstawieniu pod wartośc bezwzględną otrzymam wynik ujemny to opuszczając wartość nalezy kazemu wyrażeniowi pod wartością zmienić znak na przeciwny, a jesli otrzymasz po podstawieniu za x wynik dodatni to opuszczamy wartość i nie zminaimy znaków, zobacz

|x| = | -1 | otrzymałam pod wartością (-1) liczbę ujemną to opuszczajac wartość zmienie znak wyrazeniu pod wartością

| x - 2| = | -1 - 2| = | -3|  znów wynik ujemny, zmieniam znaki czyli

 

x ∈ (-oo, 0> ⇒ (-x) + [ -(x - 2) ] = 2

                         -x - x + 2 = 2

                          -2x = 2 - 2

                           -2x = 0

                              x = 0 ∈ (-oo, 0>

 

2. x  ∈ (0, 2> ⇒ (podstawiam za x = 1) x + [ -(x - 2) ] = 2

                                                           x - x + 2 = 2

                                                           0 = 0

                                                             x ∈ R  i x  ∈ (0, 2>

                                                                 x  ∈ (0, 2>

 

3.

x ∈ (2, +oo) ⇒ (podstawiam za x = 3) x + (x - 2 )= 2

                                                         x + x - 2 = 2

                                                          2x = 4

                                                          x = 2 ∉ (2, +oo)

 

odp. x ∈ <0, 2>

 

Answer 2

|x|+|x-2|=2

---------------------

Wyznaczmy przedziały:

x=0  ∧  x-2=0

x=0  ∧  x=2

Przedziały:

(-∞;0),<0;2),<2;+∞)

 

Przedział pierwszy: (-∞;0)

-(x)+[-(x-2)] = 2

-x+(-x+2) = 2

-2x+2 = 2

-2x = 0

x = 0 - nie należy do przedziału

 

Przedział drugi:

x+[-(x-2)] = 2

x+(-x+2) = 2

2 = 2 - równanie tożsamościowe - każda liczba z przedziału <0;2) spełnia to równanie

 

Przedział trzeci:

x+(x-2) = 2

2x-2 = 2

2x = 4

x = 2 - należy do przedziału, spełnia równanie

 

W sumie równanie spełniają wszystkie liczby z przedziału <0;2>.

------------------------------------------------------------------------------------

Dlaczego zmieniaja się znaki w poszczególnych trzech przypadkach?

Zależy to od własności wartości bezwzględnej (wartość bezwzględna z KAŻDEJ liczby jest dodatnia) oraz od przedziału, w którym wykonujemy obliczenia. 

Postaram się wyjaśnić to na Twoim przykładzie:

Wyliczyliśmy 3 przedziały, następnie w każdym z nich wykonujemy obliczenia.

 

Weźmy wyrażenie x-2 w tych 3 przypadkach:

- w przedziale (-∞;0) oraz <0;2) będzie zawsze miało wartość ujemną, więc wartość bezwzględną z tego wyrażenia opuszczamy pisząc przed wyrażeniem znak "-" (czyli -(x-2))

- w przedziale <2;+∞) będzie miało wartość dodatnią, więc wartość bezwzględną z tego wyrażenia opuszczamy po prostu zapisując to wyrażenie bez ||

 

To samo tyczy się dowolnego wyrażenia, wszystko zależy od przedziału, w którym wykonujemy obliczenia.

 

PS, W razie pytań pisz PW :)