Question

Oblicz wartości pozostałych funkcji trynogometrycznych dla kąta o mierze < < wiedząc, że:

a) =

b) =

c) = 2

d) =

Answer 1

a) 

= 

sin²α + cos²α = 1

sin²α = 1 - cos²α

sinα = √ 1 - cos²α = √ 1 - (¹/₃)² = √ ⁹/₉ - ¹/₉ = √⁸/₉ = (√8)/(√9) = ( √4·√2 ) / 3 = 2√2 / 3

 

tgα = sinα / cosα = ( 2√2 / 3 ) ÷ ⅓ = ( 2√2 / 3 ) · 3 = 2√2

 

ctgα = cosα / sinα = ⅓ / ( 2√2 / 3 ) = ⅓ · ( 3 / 2√2 ) = ( 1 / 2√2 ) · (√2/√2) = √2/4

 

b)

  = 

sin²α + cos²α = 1

cos²α = 1 - sin²α

cosα = √ 1 - sin²α = √1 - ³/₅ = √ ⁵/₅ - ³/₅ = √ ²/₅ · (√5/√5) = √10 / 5

 

tgα = sinα / cosα = ³/₅ ÷ ( √10 / 5 ) = ³/₅ · 5 / √10 = ³/ √10 · (√10 / √10) = 3√10 / 10

 

ctgα = cosα / sinα = (3√10 / 10) ÷ ³/₅ = (3√10 / 10) · ⁵/₃ = 3√10 / 6 = √10 / 2

 

c)

= 2

 

ctgα = 1 / tgα = ½

 

sinα / cosα = 2

sinα = 2 cosα

 

sin²α + cos²α = 1

sin²α = 1 - cos²α

 

(2 cosα)² = 1 - cos²α

4cos²α + cos²α = 1

4 cos²α = 1   /:4

cos²α = ¹/₄

cosα = √¹/₄ = ½

 

sinα = 2 cosα = 2 · ½ = 1

 

d)

  = 

 

tgα = 1/ctgα = 1 ÷ ²/₃ = 1 · ³/₂ = ³/₂

 

cosα/ sinα = ²/₃

cosα= ²/₃ sinα

 

sin²α + cos²α = 1

sin²α = 1 - cos²α

sin²α = 1 - (²/₃ sinα)²

sin²α = 1 - ⁴/₉ sin²α

sin²α + ⁴/₉ sin²α = 1

¹³/₉ sin²α= 1  / · ⁹/₁₃

 

sin²α =  ⁹/₁₃

 

sinα =  √⁹/₁₃ = √9/√13 · (√13/√13) = 3√13 ÷ 13

 

cosα= ²/₃ sinα = ²/₃ · 3√13 ÷ 13 = 2√13 ÷ 13