Question

Oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych:
a) podzielnych przez 3 ( powinno wyjść 165 150)
b) podzielnych przez 4 ( powinno wyjść 123 300
c) podzielnych przez 12 ( powinno wyjść 41 400)

Answer 1

Aby policzyć sumę wszystkich liczb trzycyfrowych podzielnych przez 3, najpierw należy policzyć ich liczbę. Liczb trzycyfrowych jest 999-99=900. A podzielna przez trzy jest co trzecia z tych 900, czyli jest ich 900:3=300. Pierwszą liczbą trzycyfrową jest 102, a każda następna jest o 3, potem o 3×2=6, potem o 3×3=9 większa od liczby 102. Tak więc sumę wszystkich podzielnych prze trzy liczymy tak:
102 + (102+3) + (102+3×2) + ... + (102+3×299), Aby to wszystko dodać można najpierw zaćząć dodawać wszystkie 'stodwójki'. Jest ich 300, więc suma 'stodwójek' wynosi 300×102=30 600. Następnie należy dodać wszystkie te liczby postaci 3 + 3×2 + 3×3 + ... +3×299. Trójkę wyciągamy przed nawias i otrzymujemy:
3× (1+2+3+4+5+...+299). Aby dodać liczby w nawiasie jest na to specjalny sposób. Dodajemy pierwszy i ostatni wyraz (1+299=300), drugi i przedostatni (2+298=300) itd. i zauważamy że za każdym razem wychodzi to samo. Takich 'trzysetek' mamy o połowę niż wyrazów (których jest 299), więc sumę tę liczymy następująco:
(1+299)×(299:2)=44 850 Ten wynik mnożymy razy trzy (bo przed nawiasem była trójka) i wychodzi 44 850×3=134 550. Do tego wyniku dodajemy poprzednią sumę 'stodwójek' i wychodzi 134 550 + 30 600 = 165 150

Kolejne podpunkty trzeba policzyć analogicznie, czyli liczbę liczb trzycyfrowych podzielić przez 4 (potem przez 12), poszukać pierwszej podzielnej przez 4 (12), pomnożyć ją przez liczbę liczb podzilenych przez 4 (12). Otrzymujemy liczbę a. I jeżeli mamy n liczb podzielnych przez 4 (12) to mnożymy razy 4 (12) sumę liczb od 1 do n-1, i wynik dodajemy do liczby a. ;P