Question

Oblicz sumę kwadratów odległości dowolnego punktu okręgu o środku O=(0,0) i promieniu r od prostych równoległych do osi układu współrzędnych zawierających boki prostokąta wpisanego w ten okrąg.

Answer 1

Prostokąt wpisany w ten okrąg nazwij ABCD. Niech punkt A=(a, b) leży w I ćwiartce (a, b>0).

Punkty:

B=(-a, b)

C=(-a, -b)

D=(a, -b)

 

Proste zawierające boki prostokąta to proste:

AB: y=b

BC: x=-a

CD: y=-b

DA: x=a

 

Punkty A, B, C, D leżą na okręgu, więc

 

Niech punkt P=(x, y) leży na okręgu.

Wtedy

 

Odległości punktu P od boków prostokąta wynoszą odpowiednio:

 

Suma kwadratów tych odległości;