Question

Oblicz stosunek długości krawędzi a sześcianu do długości jego przekątenej d, wiedząc , że długość d jest równa:

a) 5 cm
b)2,8 cm
c) 2 pierwiastek z 3 cm

Answer 1

D - przekątna sześcianu
a - krawędź boczna
l - przekątna ściany bocznej

l = a√2
d² = l² + a²
d² = 2a² + a²
d² = 3a²
d = a√3

a/d = 1/√3 = (√3)/3
stosunek jest stały i nie zależy od długości krawędzi bocznej sześcianu

Answer 2

Najpierw dojdźmy do ogólnej zależności. Weźmy że długość sześcianu jest równa x. Wtedy żeby obliczyć długość przekątnej korzystamy z tw Pitagorasa dla trójkąta p przyprostokątnej równej x i równej przekątnej podstawy oraz przeciwprostokątnej równej przekątnej sześcianu a więc d. Obliczmy najpierw długość przekątnej (oznaczmy ją y) w podstawie sześcianu (przekątna kwadratu o boku x), zatem mamy z tw Pitagorasa
x²+x²=y²
y²=2x²
y=√2x
Teraz liczymy długość podstawy z tw Pitagorasa z przekątną sześcianu
x²+(√2x)²=d²
x²+2x²=d²
3x²=d²
d²=3x²
d=√3x
Ogólnie zatem co byśmy nie wstawiali mamy że x/d=x/√3x=1/√3=(1/√3)*(√3/√3)=(1*√3)/(√3*√3)=√3/3

a) d = 5 cm
√3x=5 cm /:√3
x=(5/√3) cm
x=(5*√3)/(√3*√3)
x=5√3/3

zatem x/d=(5√3/3)/5=(5√3/3)*(1/5)=√3/3

b)2,8 cm
√3x=2,8 cm /:√3
x=(2,8/√3) cm
x=(2,8*√3)/(√3*√3)
x=(2,8√3)/3

zatem x/d=(2,8√3/3)/2,8=(2,8√3/3)*(1/2,8)=√3/3
c) 2√3 cm
√3x=2√3 cm /:√3
x=(2√3/√3) cm
x=2

zatem x/d=2/2√3=(2/2√3)*(√3/√3)=2√3/(2*3)=2√3/6=√3/3