Question

Oblicz pole trapezu równoramiennego ABCD wiedząc, że jego wierzchołki A=(1,2) i B=(7,0) są końcami średnicy okręgu opisanego na tym trapezie, a wierzchołek D należy do prostej o równaniu 2x - y - 2 =0

Answer 1

A = ( 1; 2),  B = ( 7; 0)

zatem

S  - środek odcinka AB ( srodek okręgu opisanego na trapezie ABCD )

xs = ( 1 + 7)/2 = 4

ys = ( 2 + 0)/2 = 1

czyli

S = ( 4; 1)

=============

oraz

r = I AS I

r^2 = I AS I^2 = ( 4 - 1)^2 + (1 - 2)^2 = 3^2 + ( -1)^2 = 9 + 1 = 10

Równanie okręgu opisanego

( x - 4)^2 + ( y - 1)^2 = 10

======================

2 x - y - 2 = 0

zatem

y = 2 x - 2

-------------

D   - punkt wspólny okręgu  i prostej, zatem

(x - 4)^2 + ( y - 1)^2 = 10

y = 2 x - 2

----------------------

x^2 - 8 x + 16 + ( 2 x - 2 - 1)^2 = 10

x^2 - 8 x + 16 + ( 2 x - 3)^2 = 10

x^2 - 8 x + 16 + 4 x^2 - 12 x + 9 = 10

5 x^2 - 20 x  + 15 = 0  / : 5

 x^2 - 4 x + 3 = 0

------------------------

delta  = ( -4)^2 - 4*1*3 = 16 - 12 = 4

 p( delty) = 2

x = [ 4 - 2]/2 = 1     lub  x = ( 4 + 2)/2 = 3

y =  2*1 - 2 = 0        lub   y = 2*3 - 2 =  4

zatem

D = ( 1; 0 )  lub  D = ( 3; 4)

---------------------------------------

Mamy  2 trapezy symetryczne względem prostej o równaniu    y = 2 x - 2

 Weżmy trapez górny, czyli dla

D = ( 3; 4)

=========

Wyznaczam równanie prostej AB :

y = a x + b

2 = a + b

0 = 7a + b

-----------------  odejmuję stronami

0 - 2 = 7a - a

6 a = - 2

a = - 1/3

----------

b = 2 - a = 2 - ( -1/3) = 2 + 1/3 = 7/3

------------------------------------------------

y = ( -1/3) a +  7/3

====================

Przez punkt D = ( 3; 4)  prowadzę prostą równoległą do pr AB:

Mamy

y = ( -1/3) x + b1

Wstawiam 3 za x  i   4  za y:

4 = (-1/3)*3 + b1

4 = - 1 + b1

b1 = 5

-------

y = ( -1/3) x + 5

==================

Ta prosta przecina okrąg w punkcie C

Mamy

( x - 4)^2 + ( y - 1)^2 = 10

y = ( -1/3) x + 5

-----------------------

( x - 4)^2 + [ ( - 1/3) x + 5 - 1]^2 = 10

x^2 - 8 x + 16 + (1/9) x^2 - (8/3) x + 16 = 10 / * 9

9 x^2 - 72 x + 144 + x^2 - 24 x + 144 = 90

10 x^2 - 96 x + 198 = 0/ : 2

5 x^2 - 48 x + 99 = 0

----------------------------

delta = ( -48)^2 - 4*5*99 = 2 304 - 1980 = 324

p( delty) = 18

x = [ 48 - 18]/10 = 3  lub   x = [ 48 + 18]/10 = 6,6

y = ( - 1/3)*3 + 5 = -1 + 5 = 4   lub    y = ( -1/3)*6,6 + 5 = - 2,2 + 5 =  2,8

( 3; 4) = D , zatem  C = (  6,6 ; 2,8 )

================================

Obliczam   a = I AB I    i   b = I CD I

a^2 = I ABI^2 = ( 7 -1)^2 + ( 0 - 2)^2 = 6^2 + ( -2)^2 = 36 + 4 = 40

czyli

a = 2 p(10)

============

C = ( 6,6; 2,8)  ,  D = (3; 4)

b^2 = I CD I^2 = ( 3 - 6,6)^2 + ( 4 - 2,8)^2 = ( - 3,6)^2 + 1,2^2 = 12,96 + 1,44 = 14,4

b^2 = 4*3,6

b = 2 p(3,6)

==============

 

p(10) - pierwiastek kwadratowy z 10

 

Obliczam teraz wysokość  trapezu  h , jako odległość punktu D = ( 3; 4) od prostej

pr AB

y = ( -1/3) x + 7/3   / * 3

3 y = - x + 7

x + 3 y - 7 = 0   - równanie pr AB

-----------------

D = ( 3; 4)

-------------

zatem

h = I 1*3 + 3*4 - 7 I / p( 1^2 + 3^2 ) = I 8 I / p( 10) = 8 / p(10)

Pole trapezu ABCD

P = 0,5*[ a + b]*h

====================

P = 0,5 *[ 2 p(10) + 2 p(3.6)]*[ 8 / p(10)]

P = [ p(10) + p ( 3,6)]* [ 8/ p(10)]

P = 8 + 8*0,6 = 8 + 4,8 = 12,8

Odp.

P = 12,8

=================