Question

Oblicz pole powierzchni prostopadłościanu o podstawie kwadratu, wiedząć, że przekątna prostopadłościanu o długości8 cm jest nachylona do powierzchni podstawy pod kątem 60 stopni

Answer 1

a,b - krawędzie podstawy prostopadłościanu
c - krawędź boczna prostopadłościanu
α = 45° - kąt nachylenia przekątnej prostopadłościanu do podstawy
d = 8 cm - długość przekątnej podstawy prostopadłościanu
β = 60° - kąt jaki tworzy przekątna podstawy prostopadłościanu z krawędzią podstawy
Ponieważ przekątna prostopadłościanu jest nachylona do podstawy pod kątem 45° to tworzy ona z przekątną podstawy i krawędzią boczną prostopadłościanu trójkąt prostokątny równoramienny. Zatem krawędź boczna c ma długość równą długości przekątnej podstawy prostopadłościanu
c = d
c = 8 cm
Ponieważ przekątna podstawy d tworzy z krawędzią podstawy kąt 60°, zatem krawędzie podstawy a i b z przekątną podstawy d tworzą trójkąt prostokątny o kątach 30°, 60° i 90°. Trójkąt ten ma takie własności, że przeciwprostokątna jest dwa razy dłuższa od przyprostokątnej leżącej naprzeciwko konta 30°, a dłuższa przyprostokątna (leżąca naprzeciwko konta 60°) jest √3 razy większa od krótszej przyprostokątnej.
Stąd, jeśli d tworzy z a kąt β = 60°, to
d = 2a
a = ½d
a = 4 cm
b = √3a
b =4√3 cm
V = abc
V = 4*4√3*8 = 128√3cm³
Pc = 2(ab+ac+bc)
Pc = 2(4*4√3 + 4*8 + 4√3 * 8)
Pc = 2(16√3 + 32 + 32√3)
Pc = 2(48√3 + 32)
Pc = 96√3 + 64 cm²