Question

Oblicz pole figury ograniczonej wykresami funkcji y= |4x| -5, y= -2x +10

Bardzo proszę o szybką pomoc.!

Answer 1

najpierw musisz obliczyć gdzie łączą się te dwie funkcje aby mieć jakikolwiek obraz tej figury w środku.

aby to wyliczyć obliczasz układ równań stworzony z tych dwóch funkcji

y=|4x|-5 

y=-2x+10 

 

z wartości bezwzględnej powstają ci dwa przypadki tych układów

y=4x-5                                      y=-4x-5 

y=-2x+10                                  y=-2x+10 

rozwiązujesz te dwa układy(tego chyba nie muszę tłumaczyć jak :)) rozwiązanie ich jest takie: 

x=15/6=2,5                               x=-15/2=-7,5 

y=5                                           y=25

rysujemy sobie w ułądzie współrzędnych obydwie funkcje. w ten sposób masz ograniczoną figurę. jest to czworokąt ABCD: A=(0,-5), B=(2,5;5), C=(0,10) i D=(-7,5;25). jeśli dobrze popatrzysz na rysunek okaże sie się że figura której pole mamy obliczyć składa się z dwóch trójkątów. jeden jest po lewej stronie osi y, drugi po prawej stronie. 

zajmijmy sie najpierw tym po lewej(trójkąt ABC). nie wiem czy braliście już wzór na długość odcinka, ale żeby obliczyc ile ma podstawa oraz wysokość trójkąta musimy z niego skorzystać albo po prostu policzyć sobie i zaznaczyć na rysunku. ja na wszelki wypadek zrobie z obliczaniem dlugosci odcinka. 

|AB|=√[(Xb-Xa)^2+(Yb-Ya)^2]          (całość ma byc pod pierwiastkiem) 

dla nas punkt A i B we wzorze to punkty A i C naszego trójkąta. 

|AC|=√[(0-0)²+(10-(-5))²]=√(0+225)=√225=15

możemy sobie sprawdzić na rysunku czy sie zgadza. to jest długość naszej podstawy. 

teraz wysokość. zajmujemy sie teraz punktem B. musimy obliczyc długość odcinka od pktu B do pktu E na podstawie. gdy połączymy B i E ze sobą odcinek musi byc pod kątem prostym do podstawy. punkt E ma współrzędne (Xe,Ye). Xe=0 ponieważ punkt lezy na osi y. Ye=5 ponieważ musi sie znjdowac na tej samej wysokości co punkt B a Yb=5. 

czyli

B=(2,5;5)

E=(0,5)

tez podstawiamy do wzoru: 

BE=√[(0-2,5)²+(5-5)²]=√[(-2,5)²+0²]=√6,25=2,5 

czyli nasza wysokość ma 2,5. 

teraz możemy obliczyć pole trójkąta

P=(podstawa×wysokość)/2=(15×2,5)/2=37,5/2=18,75cm²

to jest pole pierwszego trójkąta. 

teraz drugi(trójkąt ACD) 

długośc podstawy jest ta sama = 15

dla wysokości musimy ustalic punkt F=(Xf,Yf)

Xf=0 bo punkt lezy na osi y

Yf=Yd=25 

D=(-7,5;25)

F=(0,25) 

obliczamy wysokośc

|DF|=√[(0-(-7,5))²+(25-25)²]=√(7,5²+0²)=√56,25=7,5

obliczamy pole trójkąta ACD

P=(podstawa×wysokość)/2=(15×7,5)/2=56,25cm²

teraz zeby miec pole calej figury sumujemy pola obydwu trójkątów

18,75+56,25=75cm²

to tyle :D

Answer 2

Oblicz pole figury ograniczonej wykresami funkcji: y = |4x| - 5, y = - 2x + 10

 

f(x) = |4x| - 5 i g(x) = - 2x + 10

Wyznaczamy granice całkowania, czyli znajdujemy punkty przecięcia się wykresów funkcji f i g rozwiązując układ równań:

{y = |4x| - 5

{y = - 2x + 10

 

{y = |4x| -5

{|4x| - 5 = - 2x + 10

 

Rozwiążemy 2 równanie układu:

|4x| - 5 = - 2x + 10

4x = 0 ⇒ x = 0

1° x ∈ (- ∞; 0>

4x ≤ 0 ⇒ |4x| = - 4x

- 4x - 5 = - 2x + 10

- 4x + 2x = 10 + 5

- 2x = 15 /:(- 2)

x= - 7,5 ∈ (- ∞; 0>, więc jest rozwiązaniem równania

2° x ∈ (0; + ∞)

4x > 0 ⇒ |4x| = 4x

4x - 5 = - 2x + 10

 4x + 2x = 10 + 5

6x = 15 /:6

x = 2,5 ∈ (0; + ∞), więc jest rozwiązaniem równan

Zatem rozwiązaniem równania są liczby x = - 7,5 i x = 2,5

Stąd:

dla x = - 7,5 ⇒ y = - 2·(-7,5) + 10 = 15 + 10 = 25

dla x = 2,5 ⇒ y = - 2·2,5 + 10 = - 5 + 10 = 5

Wykresy funkcji f i g przecinają się w punktach: (-7,5; 25) i (2,5; 5)

Zatem szukane pole D jest wyznaczone przez funkcje f i g na przedziale [-7,5; 2,5], na którym zachodzi nierówność g(x) ≥ f(x) (patrz załącznik), czyli szukane pole wynosi:

 

 

 

 

 

 

 

Odp. Pole figury ograniczonej wykresami funkcji wynosi 75 j².