Question

Oblicz objętość o pole powierzchni bryły powstałej w wyniku obrotu:
a) trójkąta równoramiennego o podstawie 10 cm i ramieniu długości 23 cm wokół podstwy
b)kwadratu o boku długości 2 cm wokół przekątnej
c)rombu o przekątnych 6 cm i 8 cm wokół krótszej przekątnej

Answer 1

A)
Po obrocie trójkąta równoramiennego wokół podstawy powstaną 2 stożki złączone podstawami.
Obliczam wysokość trójkąta równoramiennego, która będzie równocześnie promieniem stożka.

5²+h²=23²
25+h²=529
h²=529-25
h²=504
h=2√126
h=2*3√14
h=6√14 [cm]
Zatem r=h=6√14 cm

Wysokość całego stożka wynosi H=5 cm. Tworząca l=23 cm.

V= 2*1/3*πr²*H
V=2/3*π(6√14)²*5
V=2/3*π*504*5
V=1680π [cm³]

Pc=2*πrl
Pc=2*π*6√14*23
Pc=276√14π [cm²]

b)
Przekątna tego kwadratu wynosi 2√2 cm. Po obrocie tego kwadratu wokół przekątnej otrzymamy 2 stożki złączone podstawami, o promieniu r=√2 cm, wysokości H=√2 cm i tworzącej stożka l=2 cm.

V= 2*1/3*πr²*H
V= 2/3*π*√2²*√2
V=2/3*π*2*√2
V=√2/3*π [cm³]

Pc=2*πrl
Pc=2*π*√2*2
Pc=4√2π [cm²]

c)
Po obrocie danego rombu wokół krótszej przekątnej otrzymamy 2 stożki złączone podstawami, w których r=3 cm i H=4cm. Aby obliczyć długość tworzącej l, skorzystam z tw. Pitagorasa.
r²+H²=l²
3²+4²=l²
9+16=l²
l²=25
l=5 cm

V= 2*1/3*πr²*H
V= 2/3*π*3²*4
V= 2/3*π*9*4
V= 24π [cm³]

Pc=2*πrl
Pc=2*π*3*5
Pc=30π [cm²]