Oblicz objętość i pole powierzchni ostrosłupa, którego siatkę przedstawiono w załączniku. podstawą j.... Question from @olusiek16

August 2018 1 92 Report

Oblicz objętość i pole powierzchni ostrosłupa, którego siatkę przedstawiono w załączniku. podstawą jest prostokąt o wymiarach a=2 b=4, zaś jego krawędź boczna wynosi 4 pierwiastek z 5.

na dziś!!!

proszę o dokładność ...w liczeniu

prawidłowa odp. to: V(Objętość)=40 pierwiastek z 3 kreska ułamkowa 3 , P(pole całkowite)=8+2pierwiastek z 79 + 8 pierwiastek z 19

Agikson $V= \frac{1}{3} Pp*H$ -> wzór na objętość ostrosłupa

Pp - pole podstawy ostrosłupa
H - wysokość ostrosłupa

$Pp=a*b\\\\a=2\\\\b=4\\\\Pp=2*4=8\\\\Pp=8$

c - oznaczę długość krawędzi bocznej ostrosłupa
$c=4 \sqrt{5}$

d - długość przekątnej podstawy ostrosłupa (obliczę ją z twierdzenia Pitagorasa):
$a^2+b^2=d^2\\\\2^2+4^2=d^2\\\\4+16=d^2\\\\20=d^2\\\\d^2=20\\\\d= \sqrt{20} = \sqrt{4*5} = \sqrt{4} * \sqrt{5} =2* \sqrt{5} =2 \sqrt{5}\\\\d=2 \sqrt{5}$

H - długość wysokości ostrosłupa (ją również obliczę z twierdzenia Pitagorasa):
$H^2+ (\frac{1}{2} d)^2=c^2\\\\H^2+( \frac{1}{2} *2 \sqrt{5})^2=(4 \sqrt{5} )^2\\\\H^2+( \frac{2 \sqrt{5} }{2} )^2=16 \sqrt{25}\\\\H^2+( \sqrt{5} )^2=16*5\\\\H^2+ \sqrt{25} =80\\\\H^2+5=80\\\\H^2=80-5\\\\H^2=75\\\\H= \sqrt{75} = \sqrt{25*3}= \sqrt{25} * \sqrt{3} =5* \sqrt{3} =5 \sqrt{3}\\\\H=5 \sqrt{3}$

Podstawiam dane do wzoru na objętość ostrosłupa:
$V= \frac{1}{3} *8*5 \sqrt{3}= \frac{40 \sqrt{3} }{3}\\\\V= \frac{40 \sqrt{3} }{3}$

Pole podstawy ostrosłupa już mamy obliczone, ale musimy jeszcze obliczyć pole powierzchni bocznej ostrosłupa.

$Pc=Pp+Pb$ -> wzór na pole powierzchni całkowitej ostrosłupa

Pole boczne w tym przypadku składa się z dwóch trójkątów o podstawie a=2 i dwóch trójkątów o podstawie b=4.

Chcąc obliczyć ich pola należy najpierw obliczyć ich wysokości (również z twierdzenia Pitagorasa):
Trójkąt I (o podstawie a=2)
h₁ - długość wysokości trójkąta I
$(h_1)^2+( \frac{1}{2} a)^2=c^2\\\\(h_1)^2+( \frac{1}{2} *2)^2=(4 \sqrt{5} )^2\\\\(h_1)^2+1^2=16 \sqrt{25}\\\\(h_1)^2+1=16*5\\\\(h_1)^2+1=80\\\\(h_1)^2=80-1\\\\(h_1)^2=79\\\\h_1= \sqrt{79}$

P₁ - pole trójkąta I
$P_1= \frac{a*h_1}{2}\\\\P_1= \frac{2* \sqrt{79} }{2}= \frac{2 \sqrt{79} }{2} = \sqrt{79}\\\\P_1= \sqrt{79}$

Trójkąt II (o podstawie b=4)
h₂ - długość wysokości trójkąta II
$(h_2)^2+( \frac{1}{2} b)^2=c^2\\\\(h_2)^2+( \frac{1}{2} *4)^2=(4 \sqrt{5} )^2\\\\(h_2)^2+2^2=16 \sqrt{25}\\\\(h_2)^2+4=16*5\\\\(h_2)^2+4=80\\\\(h_2)^2=80-4\\\\(h_2)^2=76\\\\h_2= \sqrt{76}= \sqrt{4*19} = \sqrt{4} * \sqrt{19} =2* \sqrt{19} =2 \sqrt{19}$

P₂ - pole trójkąta II
$P_2= \frac{b*h_2}{2}\\\\P_2= \frac{4*2 \sqrt{19} }{2}= \frac{8 \sqrt{19} }{2} =4 \sqrt{19}$

Liczę Pb:
$Pb=2*P_1+2*P_2=2* \sqrt{79} +2*4 \sqrt{19} =2 \sqrt{79}+8 \sqrt{19}$

Liczę Pc:
$Pc=Pp+Pb\\\\Pc=8+2 \sqrt{79} +8 \sqrt{19}$

Odp. Objętość tego ostrosłupa wynosi $\frac{40 \sqrt{3} }{3}$ , pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa wynosi $8+2 \sqrt{79} +8 \sqrt{19}$ .