Question

Oblicz objętość i pola powierzchni brył powstałych w wyniku obrotu zacieniowanych figur wokół osi.

Answer 1

a)

w wyniku obrotu otrzymamy połkule o promieniu r =5

V=1/2·4/3πr³=4/6·π·5³=2/3π·125=250π/3 j³

polowa kuli ma jeszcze podstawe czyli pole polkuli to 1/2 pola kuli + pole kola ktore łączy obie kule zatem:

P=½·4·πr²+πr²=2πr²+πr² =3πr²=3π·5²=3·25π=75π j²

 

b)promien polkuli r=3

tworzca stozka l=3√2

to promien stozka r=h=3

 

objetosc polkuli V1=1/2·4/3πr³=2/3πr³=2/3π·3³=2/3π·27=54π/3=18π j³

objetosc stozka Vs=1/3πr²h=1/3π·3²·3=9π j³

zatem objetosc powstalej bryly to suma objetosci tych dwoch bryl

V=V1=Vs=18π+9π=27π j³

 

w wyniku obrotu otrzymamy pole półkuli bez podstawy  i pole boczne stozka 

P1=½·4πr²=2πr²=2π·3²=2·9π=18π j²

Pbs=πrl=π·3·3√2=9√2π j²

pole calkowite powstalej bryly wynosi zatem:

Pc=P1+Pbs=18π+9√2π=9π(2+√2)  j²

 

c)walec ma r=2 i h=2

czyli Vw=πr²h=2²·2π=4·2π=8π j²

 

dwie półkule  maja r=2   zatem objetosc 

V1=2·[½·4/3πr³ =2· 2/3πr³ =4/3πr³=4/3·2³=4/3·8π =32π/3

 

objetosc powstalej bryly to suma objetosci walca i 2 polkul czyli

V=Vw+V1=8π+32π/3=8π(1+4/3) j³

 

Pole calkowite powstalej bryly to suma pola bocznego walca i pola 2 polkul 

Pbw=2πrh=2π·2·2=8π j²

P2=2·4πr²=8πr²=8·2²π=8·4π=32π j²

pole calkowite powstalej bryly wynosi zatem

Pc=Pbw+P2=8π+32π =40π j²