Question

Oblicz objętość bryły otrzymanej przez przyklejenie ostrosłupów do dwóch równoległych ścian sześcianu o krawędzi 4. Wszystkie krawędzie ostrosłupa są równe.

rys. w załączniku :)

Answer 1

Zacznę od objętości sześcianu:

Dane:

a = 4 [cm]

Szukane:

Vs =?

Wzór:

Vs = a³

Rozwiązanie:

Vs = 4³

Vs = 4·4·4

Vs = 64 [cm³]

 

Teraz ostrosłup. Ważne są oznaczenia (rysunek w załączniku).

x - przekątna podstawy ostrosłupa

y - połowa przekątnej podstawy ostrosłupa

z - wysokość ostrosłupa

q - krawędź boczna ostrosłupa

a - krawędź podstawy ostrosłupa (równa innym krawędziom ostrosłupa)

 

X można wyliczyć znając własność kwadratu dot. przekątnej: przekątna jest równa iloczynowi długości boku i √2. Czyli przekątna jest równa a√2. Więc:

x = a√2

x = 4√2 [cm]

 

Y jest połowa x, więc:

y = ½·4√2

y = 2√2 [cm]

 

Q jest równe a (wynika to z treści zadania):

q = 4 [cm]

 

Do obliczenia objętości ostrosłupa potrzebujemy jeszcze wyskości - z:

Dane:

q = 4 [cm]

y = 2√2 [cm]

Szukane:

z = ?

Wzór:

z² + y² = q²

Rozwiązanie:

z² + (2√2)² = 4²

z² + 4·2 = 16

z² + 8 = 16 |-8

z² = 8 |√

z = √8

z = √(4·2)

z = √4· √2

z = 2√2 [cm]

 

Liczymy pole podstawy, dzięki któremu otrzymamy objętość ostrosłupa:

Dane:

a = 4 [cm]

Szukane:

Pp = ?

Wzór:

Pp = a²

Rozwiązanie:

Pp = 4²

Pp = 4·4

Pp = 16 [cm²]

 

I objętość ostrosłupa:

Dane:

Pp = 16 [cm²]

 

z = 2√2 [cm]

Szukane:

V = ?

Wzór:

V = ⅓Pp·h

Rozwiązanie:

Vo = ⅓·16·2√2

Vo = ⅓·32√2

Vo ≈ 10,7√2 [cm³]

 

Pozostała tylko objętość całej bryły:

Dane:

Vo = 10,7√2 [cm³]

Vs = 64 [cm³]

Szukane:

V = ?

Wzór:

V = 2Vo + Vs

Rozwiązanie:

V = 2·10,7√2 + 64

V = 21,4√2 + 64 [cm³]

Answer 2

Zacznijmy od faktu, że obydwa ostrosłupy maja jednakową objętość.

Jeżeli jest to ostrosłup prawidłowy czworokątny o jednakowych wszystkich bokach a=4cm to po pierwsze obliczam wysokość pojedynczego trójkata ściany bocznej

mam trójkąt o boku a=4cm więc jego wysokość wyznaczam ze wzoru:

teraz buduje kolejny trójkąt składający się z oraz połowy z a i szukanej   czyli wysokości ostrosłupa ze wzoru:

Teraz wiedząc, że objętości obydwu ostrosłupów są takie same obliczam:

Objętość całkowita wynosi zatem:

czyli: jednostek sześciennych