Question

Oblicz najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej f w każdym z podanych przedziałó gdy:

f(x)=x² - 6x + 3

a)<0;4>

b)<1;6>

c)<4;5>

d)<-2;0>

f(x)=x² + 2x - 3

a)<-2;1>

b)<-3;0>

c)<-4;-1>

d)<0;1>

f(x)=-x² + 6x - 5

a)<2;6>

b)<0;4>

c)<1;2>

d)<-1;5>

f(x)= -x² - 2x + 3

a)<-3;0>

b)<-2;1>

c)<0;2>

d)<-4;2>

Prosze o rozwiązanie i wytlumaczenie!

Answer 1

f(x)=x² - 6x + 3

a)<0;4>

pierwsze liczę, czy p należy do podanego przedziału:

p=-b/2a=6/2=3

nalezy, więc najmniejsza wartość będzie w wierzchołku

m=f(p)=f(3)=9-6*3+3=9-18+3=-6

teraz liczę wartości na końcach przedziału

f(0)=3

f(4)=16-24+3=-5

więc największa wartość to 3, bo 3>-5

M=3

m=-6

b)<1;6>

p=3 również nalezy do tego przedziału, więc najmniejsza wartość to -6

f(1)=1-6+3=-2

f(6)=36-36+3=3

M=3

m=-6

c)<4;5>

p=3 nie należy do przedziału

f(4)=16-24+3=-5

f(5)=25-30+3=-2

M=-2

m=-5

d)<-2;0>

f(-2)=4+12+3=19

f(0)=3

M=19

m=3

 

f(x)=x² + 2x - 3

a)<-2;1>

p=-b/2a=-2/2=-1

p należy do przedziału, więc najmniejsza wartość:

f(p)=f(-1)=1-2-3=-4

f(-2)=4-4-3=-3

f(1)=1+2-3=0

M=0

m=-4

b)<-3;0>

M=-4

f(-3)=9-6-3=0

f(0)=-3

M=0

m=-4

c)<-4;-1>

m=-4

f(-4)=16-8-3=5

f(-1)=1-2+3=2

M=5

d)<0;1>

f(0)=-3

f(1)=1+2-3=0

M=0

m=-3

 

f(x)=-x² + 6x - 5

 

a)<2;6>

p=-b/2a=-6/-2=3

f(p)=-9+18-5=4

f(2)=-4+12-5=3

f(6)=-36+36-5=-5

M=4

m=-5

b)<0;4>

M=4

f(0)=-5

f(4)=-16+24-5=3

m=-5

c)<1;2>

f(1)=-1+6-5=0

f(2)=3

M=3

m=0

d)<-1;5>

M=4

f(-1)=-1-6-5=-12

f(5)=-25+30-5=0

m=-12

 

f(x)= -x² - 2x + 3

a)<-3;0>

p=-b/2a=2/-2=-1

f(p)=f(-1)=-1+2+3=4

M=4

f(0)=3

f(-3)=-9+6+3=0

m=0

b)<-2;1>

M=4

f(1)=-1-2+3=0

f(-2)=-4+4+3=3

m=0

c)<0;2>

f(0)=3

f(2)=-4-4+3=-5

M=3

m=-5

d)<-4;2>

M=4

f(-4)=-16+8+3=-5

f(2)=-4-4+3=-5

m=-5

 

Oznaczenia:

M-największa wartość

m-najmniejsza wartość

Krótkie wytłumaczenie:

zawsze na początek musisz policzyć pierwszą współrzędną wierzchołka, czyli p. Jeżeli będzie ona należała do podanego w zadaniu przedziału, jak np. przykład pierwszy: p wyszło 3, a przedział to <0;4>, więc 3 do niego należy. Wtedy patrzysz na współczynnik a, czyli współczynnik przy x². U nas wynosi on 1. Jeżeli współczynnik ten jest >0, to funkcja w całej dziedzinie przyjmuje wartość najmniejszą (bo ramiona paraboli będą skierowane w górę). Więc jeżeli p nalezy do podanego przedziału, to dla argumentu p, wartość funkcji f(p) to wartość najmniejsza. A największej w tym przedziale szukamy licząc wartości dla x na końcach przedziału i ta, która bedzie większa, będzie największą wartością w tym przedziale.

Z kolei gdy a<0 i jeśli p należy do przedziału to f(p) to będzie wartość największa, a najmniejsza będzie na jednym z końców przedziału, więc liczymy obie i ta, która będzie mniejsza, będzie wartością najmniejszą.

Z kolei gdy p nie należy do podanego przedzialu, to liczymy tylko wartości na końcach przedziału i ta większa będzie wartością największą, a ta mniejsza - najmniejszą.