Oblicz granicę funkcji: lim (sin2x)^(x^2) x→0+ Przedstawię niżej mój tok myślenia: sin2x →1, x2→0 c.... Question from @Nnati1

December 2018 1 9 Report

Oblicz granicę funkcji:
lim (sin2x)^(x^2)
x→0+

Przedstawię niżej mój tok myślenia:
sin2x →1, x2→0 czyli granica tej funkcji 1^0 czyli 1?

Paawełek Jako że powstaje nam symbol nieoznaczony 0^0 robimy to w następujący sposób:
$\hbox{Wykorzystuje wzor:} \\ x = e^{\ln x} \\ \\ \sin^{x^2}(2x) = \left(e^{\ln (\sin(2x))}\right)^{x^2}=e^{x^2 \ln(\sin(2x))} \\ \\ \hbox{Liczymy granice wykladnika:} \\ \\ \lim\limits_{x\to 0^+} (x^2 \ln(\sin (2x)))=\lim\limits_{x\to 0^+} \dfrac{\ln(\sin (2x))}{\frac{1}{x^2}}=\left[ \dfrac{\infty}{\infty}\right]$

Teraz wykorzystuję regułę de'l Hospitala. Liczę pochodne licznika i mianownika:

$[\ln (\sin(2x))]'= \dfrac{1}{\sin (2x)} \cdot (\sin (2x))' = \dfrac{2\cos (2x)}{\sin (2x)}=2\hbox{ctg}(2x) \\ \\ \left(\frac{1}{x^2}\right)' = (x^{-2})'=-2x^{-3} = -\dfrac{2}{x^3}\\ \\ \hbox{Wiec granica ta wynosi dalej:} \\ \\ \lim\limits_{x\to 0^+} \dfrac{2\hbox{ctg}(2x)}{-\frac{2}{x^3}} = - \lim\limits_{x\to 0^+} \dfrac{\hbox{ctg}(2x)}{\frac{1}{x^3}}=- \left[ \dfrac{\infty}{\infty}\right]$

Znowuż stosujemy regułę de'l Hospitala:

$(\hbox{ctg}(2x))'= (2x)' \cdot -\dfrac{1}{\cos^2 (2x)} = - \dfrac{2}{\cos^2(2x)} \\ \\ \left( \frac{1}{x^{3}}\right)' = (x^{-3}) ' = -3x^{-4} = -\dfrac{3}{x^4} \\ \\ \hbox{Wiec ta granica wyniesie:} \\ \\ -\lim\limits_{x\to 0^+} \dfrac{-\frac{2}{\cos^2(2x)}}{-\frac{3}{x^4}}=-\lim\limits_{x\to 0^+} \dfrac{2x^4}{3\cos^2(2x)} = - \dfrac{2 \cdot 0}{3 \cos^2 0} = - \dfrac{0}{3}=0$

Pokazałem że granica wykładnika wynosi 0, więc:

$\lim\limits_{x\to 0^+} \sin ^{x^2}(2x)=\lim\limits_{x\to 0^+} e^{x^2 \ln(\sin(2x))}=e^0 = 1$

0 votes Thanks 0