Question

Oblicz długości boków trójkąta ABC. czy jest to trójkąt prostokątny?
a) A = (2,1), B = (5,3), C = (5,1)
b) A = (8,-6), B = (8,3), C = (4,2)
c) A = (-1,2), B = (1,4), C = (2,6)
d) A = (0,-2), B = (2,-3), C =(-1,-4)
W ROZWIĄZANIU WYKORZYSTAJ TWIERDZENIE PITAGORASA W UKŁADZIE WSPÓŁRZĘDNYCH
z góry dzienki :)
proszę o obliczenia

Answer 1

W prostokątnym układzie współrzędnych długość odcinka o końcach A = (x₁, y₁) i B = (x₂, y₂) wynosi: |AB| = √(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²

a) A = (2,1), B = (5,3), C = (5,1)
|AB| = √(5-2)² + (3-1)² = √3² + 2² = √9 + 4 = √13
|AC| = √(5-2)² + (1 - 1)² = √3² + 0² = √9 + 0 = √9 = 3
|BC| = √(5-5)² + (1-3)² = √0² + (-2)² = √0 + 4 = √4 = 2
Z tw. odwrotnego do tw. Pitagorasa, jeśli w pewnym trójkącie suma kwadratów długości dwóch jego boków jest równa kwadratowi długości trzeciego boku to trójkąt jest prostokątny.
|AB|² = (√13)² = 13
|AC|² = 3² = 9
|BC|² = 2² = 4
|AB|² = |AC|² + |AB|²
ΔABC jest prostokątny

b) A = (8,-6), B = (8,3), C = (4,2)
|AB| = √(8-8)² + (3+6)² = √0² + 9² = √0+ 81 = √81 = 9
|AC| = √(4-8)² + (2+6)² = √(-4)² + 8² = √16 + 64 = √80 = √16*5 = 4√5
|BC| = √(4-8)² + (2-3)² = √(-4)² + (-1)² = √16 + 1 = √17
|AB|² = 9² = 81
|AC|² = (4√5)² = 16*5 = 80
|BC|² = (√17)² = 17
ΔABC nie jest prostokątny

c) A = (-1,2), B = (1,4), C = (2,6)
|AB| = √(1+1)² + (4-2)² = √2² + 2² = √4+4 = √2*4 = 2√2
|AC| = √(2+1)² + (6-2)² = √3² + 4² = √9+16 = √25 = 5
|BC| = √(2-1)² + (6-4)² = √1² + 2² = √1+4 = √5
|AB|² = (2√2)² = 4*2 = 8
|AC|² = 5² = 25
|BC|² = (√5)² = 5
ΔABC nie jest prostokątny

d) A = (0,-2), B = (2,-3), C =(-1,-4)
|AB| = √(2-0)² + (-3+2)² = √2² + (-1)² = √4+1 = √5
|AC| = √(-1-0)² + (-4+2)² = √(-1)² + (-2)² = √1+4 = √5
|BC| = √(-1-2)² + (-4+3)² = √(-3)² + (-1)² = √9+1 = √10
|AB|² = (√5)² = 5
|AC|² = (√5)² = 5
|BC|² = (√10)² = 10
|BC|² = |AB|² + |BC|²
ΔABC jest prostokątny