Question

O liczbach a,b,c wiemy, że ciąg (a,b,c) jest rosnącym cięgiem arytmetycznym i a+b=3, natomiast ciąg (a+2, b-1,c) jest geometryczny. Wyznacz te liczby.

Answer 1

a₁;a₂;a₃  cięg arytmetyczny
b₁;b₂;b₃  cięg geometryczny

a₁; a₂=a₁+d; a₃=a₂+d = a₁+2d
a₁+a₃=a₁+a₁+2d=a₁+d+a₁+d=2a₂
a₂=(a₁+a₃)/2    w ciągu arytmetycznym wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną wyrazów sąsiednich
a₁=a
a₂=b
a₃=c

b=(a+c)/2
a+b=3

b₁, b₂ = b₁ * q, b₃ = b₁ * q²
b₂² = b₁² * q²
b₁ * b₃ = b₁ * b₁ * q² = b₁² * q²
b₂² = b₁ * b₃  w ciągu geometrycznym kwadrat środkowego wyrazu jest iloczyn
wyrazów sąsiednich
b₁=a+2
b₂=b-1
b₃=c
(b-1)² = (a+2)*c

układ równań:

{b=(a+c)/2
{a+b=3
{(b-1)² = (a+2)*c

a = 3 - b
b=(a+c)/2  => 2b=a+c =>  c=2b-a=2b-(3-b) =3b-3
с=3b-3

(b-1)² = (a+2)*c
          ↓ Podstawiamy a i c
(b-1)² = (3-b+2)*(3b-3)
(b-1)² = (5 - b)*(3b-3)
b²-2b+1=15b-15-3b²+3b
4b²-20b+16=0
b²-5b+4=0
D=25-16=9
b1=1      b2=4
a1 = 3 - b1 = 3-1=2
a2 = 3 - b2 = 3-4=-1
c1 = 3*b1-3 = 3*1-3 =-2
c2 = 3*b2-3 = 3*4-3=9
cięg 2;1;-2 niejest rosnącym cięgiem
cięg -1;4;9 jest rosnącym cięgiem arytmetycznym
a =-1
b = 4
c = 9