Question

Nierownosci kwadratowe:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

o)

Answer 1

x²-25≤0

x²≤25

x∈<-5,5>

Answer 2

a) x²-25≤0

x²≤25 /√

|x|≤5

x≤5 ∧ x≥-5

 

b) -x²+x<0

x(-x+1)<0

x<0 ∧ -x+1>0

x<1

 

c) 3x²>24 /:3
x²>8
|x|>2√2
x>2√2 ∨ x<-2√2

d) -6x²>24 /:(-6)
x²<-4
nierówność sprzeczna

 

e) (x-1)²+5x≥6x+5
x²-2x+1+5x-6x-5≥0
x²-3x-4≥0
Δ=(-3)²-4·(-4)=25
x₁=(3-5)/2= -1
x₂=(3+5)/2= 4
x∈R-(-1;4)

f) 3x²-x(x+1)<2x

3x²-x²-x-2x²<0

-x<0 /:(-1)

x>0

 

g) x²-2x-3>0

Δ=2²-4·(-3)=16
x₁=(2-4)/2=-1
x₂=(2+4)/2= 3

x∈R-<-1;3>

h) x²+6x+9>0
Δ=6²-4·9=0
x=-6/2=-3

x∈R-{-3}

i) t²-t+¼≤0

Δ=(-1)-4·¼=0

t=½

t∈{½}

 

j) -x²+2x-3>0

Δ=2²-4·(-3)·(-1)=-12
x∈Ф

k) -√2x²+x+√2>0
Δ=1²-4·(√2)·(-√2)=9

x₁=(-1-3)/(-2√2)=√2

x₂=(-1+3)/(-2√2)=-√2/2

x∈(-√2/2;√2)

 

l) (4-x)(x-5)>0

4x-x²+5x-20>0

-x²+9x-20>0

Δ=9²-4·(-20)·(-1)=1

x₁=(-9-1)/(-2)=5
x₂=(-9+1)/(-2)=4

x∈(4;5)

 

m)  x(x-3)-4(5-x)≥0

x²-3x-20+4x≥0

x²+x-20≥0

Δ=1²-4·(-20)=81

x₁=(-1-9)/2=-5
x₂=(-1+9)/2=4

x∈R-(-5;4)

 

n) 1≥(k+2)²

1≥k²+4k+4

1-k²-4k-4≥0

-k²-4k-3≥0

Δ=(-4)²-4·(-1)·(-3)=4

k₁=(4-4)/(-2)=0

k₂=(4+4)/(-2)=-4
k∈R-(-4;0)