Question

W równoległoboku ABCD (|∢ADC|>90°) z punktów B i D poprowadzono wysokości długości 60cm w kierunku krótszych boków. Powstał prostokąt o polu 1500cm². Następnie z tych samych wierzchołków poprowadzono wysokości długości 39cm na dłuższy bok równoległoboku. Oblicz pole powstałego prostokąta.

ps. Probowalem to robic prawdopodobienstwem potem pitagorasem ale wychodzily absurdalnie wielkie liczby/nie zgadzalo sie cos... (podpowiem, ze wynik wychodzi normalny, bez pierwiastków)

Answer 1

Najpierw rysuneczek i oznaczenia:
a - dłuższy bok |AB|
b - krótszy bok |AD|
x - część boku a która jest nam potrzebna by obliczyć pole
α - kąt DAB (ten mniejszy) → oczywiście ma byś DAB, a nie jak DAC (mea culpa)

liczymy długość odcinka (y) znajdującego się pomiędzy dłuższą wysokością, a wierzchołkiem:
1500 =60*y
y=25 cm

pole równoległoboku = 39a=60b → a=20/13b

i robimy Pitagorasa (w tr. ABE):
(b-25)²+60²=a²
(b-25)²+3600=a²
podstawiamy za a=20/13b
i wychodzi nam coś takiego:
231/169b²+50b-4225=0
Δ=160²
b₁<0
b₂=18590/426
więc a=14300/231

liczymy sinα=39/b=693/715
z jedynki liczymy cosα:
cos²α =1-480249/511225
cosα =176/715
cosα=(a-x)/b, zatem
176/715=(14300/231-x)/(18590/426), wymnażamy i razy 462 (żeby pozbyć się ułamków):
330330x=17177160
x=52
więc P=52*39=2028
ps. możesz tam wcześniej b₂=18590/426 zapisać jako 9295/231 będą łatwiejsze rachunki
pps. no "prawdopodobienstwem" to rzeczywiście nie wyjdzie :P