Question

Narysowano dwa przecinające sie okręgi o różnych promieniach. Środek większego okręgu o promieniu r leży na mniejszym, zaś punkty przecięcia tych okręgów są końcami średnicy mniejszego okręgu (patrz rysunek). Ile jest równe pole zacieniowanego obszaru?

Answer 1

Dodajmy oznaczenia

C - punkt leżący na łuku AB, ale na tej części, na której nie leży S

S₂ to środek mniejszego koła

r₂ to promień mniejszego koła

K to większe koło

k to mniejsze koło

policzmy

pole wycinka ABS koła K = 1/4 ·π·r²

pole trójkąta ABS

zauważmy, że jeden z boków trójkąta ABS pokrywa się ze średnicą koła k, zatem kąt ASB jest prosty, a trójkąt ABS jest prostokątny, stąd

pole tr.ABS = 1/2 ·r·r=1/2·r²

pole powierzchni półkola ABC koła k = 1/2·π·r₂²

w tej równości mamy niewiadomą r₂, zatem kożystamy z tw pitagorasa dla trójkąta prostokątnego AS₂S

dostajemy

r₂²+r₂²=r²

2r₂²=r²

r₂²=r²/2

podstawiamy do wcześniejszej równości i dostajemy, że pole półkola ABC = 1/2·π·(r²/2)=1/4·π·r²

zauważmy, że pole zacieniowanego obszaru, to pole półkola ABC kołą k minus różnica pól wycinka ABS koła K i trójkąta ABS,liczymy zatem

pole zacieniowanej figury = 1/4πr²-(1/4πr²-1/2r²)=1/2r²

odp. Pole zacieniowanej figury wynosi 1/2 r²