Question

Na rysunku obok dany jest okrąg o środku O oraz kąty alfa= 54, beta= 82 a) Oblicz miary kątów trójkąta ABC b) Wyraź w procentach, jaką część długości okręgu stanowi długość łuku AB, do którego należy punkt C. Wynik przedstaw w przybliżeniu dziesiętnym z dokładnością do 1%

Answer 1

α = 54°,   β = 82°

a)   γ = 360° - (α + β) = 360° -(54° +82°) = 360° - 136° = 224°

     Szukane kąty trójkąta ABC obliczamy korzystając z własności kątów wpisanych i środkowych, mianowicie:  (1)  jeśli kąt wpisany i środkowy oparty jest na tym samym łuku, to kat wpisany  jest połową kąta środkowego  oraz  (2)  katy wpisane oparte na tym samym łuku są sobie równe.

Zatem:  I ∢ACB I = ½ · γ = ½ · 224° = 112°.

             I ∢CAB I = ¹/₂· β = ¹/₂· 82° = 41°      (są oparte na tym samym łuku)

             I ∢ ABC I = ¹/₂ · α = ¹/₂ · 54° = 27⁰

b)  Długość łuku AB jest taką częścią okręgu, jaką częścią kąta pełnego jest suma kątów α+β .

     Czyli:   α + β      54°+82°        136°         17

                -------- = ------------- = ----------  =  -----

                  360°         360°           360°         45

 

        Długość łuku AB  stanowi   ¹⁷/₄₅  długości całego okręgu.

        Wyrazimy to procentowo:

                                                    17                    1700           340     

                                                    -----  · 100% = --------- % = ------- % = 37,7... % ≈ 38%

                                                     45                      45               9     

     Odp.  Długość łuku AB stanowi  ok. 38% długości okręgu.