Question

Na płaszczyźnie zaznaczono n punktów, z których dowolne trzy nie są współliniowe. Wyznacz n, wiedząc że liczba wszystkich odcinków łączących te punkty wynosi : a)28 b)45 c)78 ;)))

Answer 1

"Dowolne trzy nie są współliniowe", zatem każdy odcinek łączy dokładnie dwa punkty.

Można łatwo zobaczyć zależność między liczbą punktów, a liczbą odcinków.

 

Dla dwóch punktów jest jeden odcinek, dla trzech punktów trzy odcinki. Gdy dodamy czwarty punkt, będzie 3+3=6 odcinków. Pierwsze trzy to odcinki, które łączą wcześniejsze trzy punkty, drugie trzy to nowe odcinki - po jednym do każdego z trzech punktów. Analogicznie gdy dodamy piąty punkt będzie 6+4=10 odcinków.

 

Zatem ilość odcinków dla n punktów to 1+2+3+...+(n-1),

co ze wzoru na sumę ciągu arytmetycznego jest równe

 

Teraz trzeba już tylko podstawić dane z zadania do ostatniego wzoru, zatem:

 

a

... n=8 v n=-7 Wynik ujemny nalezy odrzucić, więc odpowiedź to 8 punktów.

 

b

... n=10 v n=-9

 

c

   n=13 v n=-12