Question

Na okręgu o promieniu r opisano romb, którego dłuższa przekątna ma długość 4r. Oblicz pole tej części rombu, która leży poza kołem ograniczonym danym okręgiem.

Gdyby ktoś chciał rozwiązać to zadanie proszę o obliczenia i jeśli można to rysunek.

Answer 1

ABCD - kolejne wierzchołki rombu
|AC| = 4r (przekątna)
|BD| = x (przekątna)
|AB| = a (bok rombu)
r - promień koła
h - wysokość rombu

Ponieważ koło jest wpisane w romb, więc wysokość rombu:
h=2r

Ze wzoru na pole rombu:
P=ah = 2ar
P=ef:2
P=4rf:2
P=2rf

Ponieważ jest to pole cały czas tej samej figury, więc oba zapisy są sobie równe.
2ar=2rf
a=f

Krótsza przekątna jest tej samej długości co bok rombu.
Przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym, dzielą na połowy i tworzą 4 trójkąty prostokątne. Zastosujmy tw Pitagorasa do jednego z nich.

a²=(2r)² + (0,5a)²
a² = 4r² + 0,25a² |*4
4a² = 16r² + a²
3a² = 16r²
a² = 16r² : 3
a = 4r√3 : 3

wracając do pola rombu:
P = 2ar
P = 2 * (4r√3 : 3)r
P = 8r²√3 : 3

Pole koła:
P=πr²

Pole obszaru leżącego poza kołem, to polele rombu minus pole koła:

P=(8r²√3 : 3) - πr²
P=r²(8√3/3 - π)