Question

Na jednym z boków trójkąta ABC obrano punkt P i poprowadzono przez niego proste równoległe do pozostałych boków. Podzieliły one trójkąt na dwa trójkąty o polach S1 i S2 i równoległobok. Wyznacz pole trójkąta ABC w zależności od S1 i S2

Answer 1

Na boku BC zaznaczmy tak punkt P, aby powstały dwa trójkąty o współczynniku podobieństwa k > 1. Aby tak było, punkt P musi podzielić bok BC w stosunku BP:PC = 1:k, tzn. BP = BC/(k+1). Oznaczmy przez S1 pole mniejszego trójkąta. Dla k całkowitego nietrudno zauważyć, że pole równoległoboku jest równe dokładnie 2k S1.
Własność tę można rozciągnąć oczywiście dla dowolnego rzeczywistego k. A więc trójkąt ABC będzie miał pole 

Wiadomo też, że współczynnik podobieństwa k ma się do pól figur podobnych następująco:

Skąd:

Zatem:

Jak widać wzór jest symetryczny, a więc założenie S1 < S2 lub k > 1 jest nieistotne. Pierwiastek występujący we wzorze jest średnią geometryczną pól trójkątów.