Question

Na jednym z boków trójkąta ABC obrano punkt P i poprowadzono przez niego proste równoległe do pozostałych boków. Podzieliły one trójkąt na dwa trójkąty o polach S1 i S2 i równoległobok. Wyznacz pole trójkąta ABC w zależności od S1 i S2

Answer 1

Widzę, że nikt nie ma pomysłu na rozwiązanie zadania. Też nie wiedziałem, jak je ugryźć, ale spróbuję zrobić to metodą porównawczą, która prowadzi do dobrego wyniku, jednak nie do końca rozumowanie jest dedukcyjne
Na boku BC zaznaczmy tak punkt P, aby powstały dwa trójkąty o współczynniku podobieństwa 2. Aby tak było, punkt P musi podzielić bok BC w stosunku BP:PC = 1:2, tzn. BP = BC/3. Oznaczmy przez S1 pole mniejszego trójkąta. Zauważmy, że pole równoległoboku jest równe dokładnie 2*2 S1 = 4S1. Jeśli BP:PC = 1:3, to pole równoległoboku wyniesie 2*3 S1 itd. W ogólnym przypadku przy podobieństwie k (na razie przyjmijmy k całkowite) pole wyniesie 2k S1. A więc trójkąt ABC będzie miał pole

Nic nie stoi jednak na przeszkodzie, aby k był dowolną liczbą rzeczywistą, wtedy pole rombu nie będzie całkowitą wielokrotnością S1, lecz dowolną wartością równą 2k S1.
Wiadomo też, że współczynnik podobieństwa k ma się do pól figur podobnych następująco:

Skąd:

Zatem:

Jak widać wzór jest symetryczny, a więc założenie S1 < S2 jest nieistotne. Pierwiastek występujący we wzorze jest średnią geometryczną pól trójkątów.