Question

Na gładkiej poziomej płaszczyźnie leżą dwa klocki o masach m1 i m2 przymocowanedo końców nieważkiej sprężyny o współczynniku sprężystości k . Klocki sąpołączone sznurkiem o długości mniejszej, niż swobodna długość sprężyny. Jakimruchem będą poruszały się klocki po przecięciu sznurka? Zakładamy całkowity braktarcia

Answer 1

Witaj :)

dane: k,  m₁,  m₂

szukane: równanie ruchu

--------------------------------------------

---na układ nie działają niezrównoważone siły zewnętrzne ---------->

---zgodnie z zasadą zachowania pędu wypadkowy pęd układu jest stały i wynosi 0:

p₁ - p₂ = 0 --------> p₁ = p₂

m₁v₁ - m₂v₂ = 0

m₁v₁ = m₂v₂

m₁/m₂ = v₂/v1 i wartości prędkości są odwrotnie proporcjonalne do mas, a ich

zwroty są przeciwne,

---Ek = mv²/2 = m²v²/2m = p²/2m

Ek₁/Ek₂ = [p₁²/2m₁]:[p₂²/2m²] = m₂/m₁ bo p₁=p₂

oznacza to, że w każdej chwili Ek₁ i Ek₂ są odwrotnie proporcjonalne do mas,

---zgodnie z zasadą zachowania energii mechanicznej /wobec braku tarcia/

obie masy wykonują ruch drgający tam i z powrotem przekształcając cyklicznie energię kinetyczną w potencjalną sprężystości i na odwrót,

---zgodnie z III ZDN siły sprężystości działające na obie masy maj ten sam kierunek i wartość lecz przeciwny zwrot:

F₁ = m₁a₁ = - kx......|*m₂

F₂ = m₂a₂ = + kx......|*m₁

------------------------------------

m₁m₂a₁ = - m₂kx

m₁m₂a₂ = + m₁kx i po odjęciu stronami:

-------------------------------------------------

m₁m₂[a₁-a₂] = - [m₁+m₂]*kx

m₁m₂*[a₁-a₂]/[m₁+m₂] = - kx

m₁m₂/[m₁+m₂]=M=zredukowana masa układu oraz a₁-a₂=a i otrzymujemy:

M*a = F = - kx czyli równanie ruchu harmonicznego dla zredukowanej masy M,

w którym x jest zmiana długości sprężyny w czasie,

---jedna masa porusza się względem drugiej tak, jakby ta druga była nieruchoma i układ ten zachowuje się tak masa M związana identyczną sprężyną z nieruchomym punktem zaczepienia /np. nieruchomą ścianą/.

 

Semper in altum............................pozdrawiam :)