¿Cómo se averigua la convergencia de la serie de n=1 hasta infinito de (1/(n^2))?
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Sabemos que todos los términos son positivos. Además, cada término es menor que el anterior (la sucesión es decreciente, puede llegar a convergir).
Como cada uno de los términos es positivo la serie crece cada vez un poco más, además su límite será mayor que cero, porque solo se suman términos positivos.
La única forma en la que esta serie podría no converger es si se va hacia infinito. Porque, para que una serie diverja, o se va hacia menos infinito (cosa que no puede hacer, porque ya vimos que es mayor que cero) o diverge yendo hacia infinito, o se queda oscilando entre algunos valores finitos (pero eso tampoco lo puede hacer, porque para eso necesitaríamos tener algunos términos negativos).
La única forma en la que la serie podría llegar a divergir sería yéndose de forma no acotada hacia infinito.
Lo único que necesitamos para probar que la serie converge es encontrar una acota superior (acotar por arriba a la serie, demostrar que la serie es menor que algún valor fijo finito).
Para esto se utiliza una función relacionada con la sucesión: f(x) = 1/(x^2) la cual es continua en todos los valores de x que nos interesan (los positivos) y en el intervalo de (0, infinito) la función es continua, decreciente y positiva.
La serie puede verse como una aproximación del área que hay entre la curva de la función y el eje de las x.
Luego, aplicamos el criterio de la integral, teniendo en cuenta que la suma es una suma de Riemann inferior (porque la función es continua y decreciente en el intervalo que nos interesa).
fuente(s): Khan Academy - Noción del criterio de la integral (26 oct 2014)