Question

Zbadaj czy ciag jest ciagiem arytmetycznym.Jesli tak,wyznacz roznice.
1) an=√2n+2
2) an=13 -⅓n
3) an=⅓ (n-2)
4)an=n₂+n+1
5)an=2n/n+1

Answer 1

1) a_n=√2n+2
2) a_n=13 -⅓n
3) a_n=⅓ (n-2)

Kazdy ciag postaci a_n= An + B (gdzie A i B to stale, np 3n-7)
jest ciagiem arytmetycznym zroznica A.
(Bo a_(n+1)-a_n= A(n+1)+B - (An+B)= An +A +B -An -B = A )
W ten sposob widzimy, ze ciagi 1), 2) i 3) sa arytmetyczne, z roznicami odpowiednio: √2, -⅓ i ⅓


4)a_n=n²+n+1

Obliczamy roznice miedzy dwoma kolejnymi wyrazami:
a_(n+1)-a_n = (n+1)²+n+1+1 - (n²+n+1) =
n²+2n+1 +n+2 -n² - n -1 = 2n +2
roznica nie jest stala (zalezy od n), wiec ciag nie jest arytmetyczny.


5)a_n=2n/(n+1)

Mozemy to zrobic np tak: obliczyc trzy pierwsze wyrazy i sprawdzic, ze roznica nie jest stala:

a_1 = 2/2= 1
a_2 = 4/3
a_3 = 6/4 = 3/2

I widzimy, ze a_3 - a_2 = 3/2 - 4/3 = 1/6 a
a_2 - a_1 = 4/3 - 1= 1/3
Ciag nie jest arytmetyczny.