Question

1) Miedzy liczby 5 i 26 wstaw 6 liczb takich aby wyraz z danymi tworzyly ciag arytmetyczny.
2) Miedzy liczby 34 i 2 wstaw 7 liczb takich aby wyraz z danymi tworzyly ciag arytmetyczny.
3) Ile liczb nalezy wstawic miedzy 11 i 47 aby otrzymany ciag byl arytmetyczny o roznicy 3.
4) Ile liczb nalezy wstawic miedzy 88 i 10 aby otrzymac ciag arytmetyczny o rownej 6
5)Znajdz 3 liczby tworzace ciag arytmetyczny wiedzac ze suma tych liczb jest rowna 21 a suma ich kwadratow wynosi 179
6) Znajdz 3 liczby tworzace ciag arytm. wiedzac ze suma tych liczb jest rowna 24 a ich iloczyn wynosi 224
7) 3 liczby ktorych suma wynosi 3 tworza ciag arytm. Znajdz te liczby wiedzac ze suma ich kwadratow wynosi 3 ⅔
8) Ciag arytm. sklada sie z 7 wyrazow. Wyraz srodkowy tego ciagy wynosi 11.Iloczyn wyrazow pierwszego i ostatniego jest rowny 23.Znajdz wyraz pierwszy i roznice tego ciagu.
9) Ciag arytm. sklada sie z 6 wyrazow.Suma wyrazow skrajnych tego ciagu wynosi 17.Iloczyn wyrazow srodkowych jest rowny 70.Znajdz ten ciag.
10) Ciag arytm. rosnacy ma 10 wyrazow.Suma 2 wyrazow srodkowych tego ciagu jest rowna 28.Iloczyn wyrazow skrajnych wynosi 115.Znajdz ten ciag.
11) Suma 3 liczb tworzacych ciag arytm. wynosi 2.Znajdzte liczby jesli wiesz,ze tworza ciag arytm. a suma ich odwrotnosci jest rowna 5½
12) 3 liczby tworza ciag arytm. o roznicy 4. znajdz te liczby wiedzac ze ich iloczyn wynosi -24.

Answer 1

1) Miedzy liczby 5 i 26 wstaw 6 liczb takich aby wyraz z danymi tworzyly ciag arytmetyczny.
a1=5
a8=26
a8=a1+7r
26=5+7r
26-5=7r
21=7r /:7
r=3
a2=5+3=8
a3=11
a4=14
a5=17
a6=20
a7=23
a8=26
2) Miedzy liczby 34 i 2 wstaw 7 liczb takich aby wyraz z danymi tworzyly ciag arytmetyczny.
a1=34
a9=2
a9=a1+8r
2=34+8r
2-34=8r
-32=8r /:8
r=-4
a2=34-4=30
a3=26
a4=22
a5=18
a6=14
a7=10
a8=6
a9=2
3) Ile liczb nalezy wstawic miedzy 11 i 47 aby otrzymany ciag byl arytmetyczny o roznicy 3.
an=a1+(n-1)r
47=11+(n-1)*3
47=11+3n-3
47-11+3=3n
39=3n /:3
n=13
n-2=13-2=11
4) Ile liczb nalezy wstawic miedzy 88 i 10 aby otrzymac ciag arytmetyczny o rownej 6
an=a1+(n-1)r
10=88+(n-1)*6
10-88=6n-6
-78+6=6n
-72=6n /:6
n=12
n-2=12-2=10
5)Znajdz 3 liczby tworzace ciag arytmetyczny wiedzac ze suma tych liczb jest rowna 21 a suma ich kwadratow wynosi 179
6) Znajdz 3 liczby tworzace ciag arytm. wiedzac ze suma tych liczb jest rowna 24 a ich iloczyn wynosi 224
7) 3 liczby ktorych suma wynosi 3 tworza ciag arytm. Znajdz te liczby wiedzac ze suma ich kwadratow wynosi 3 ⅔
8) Ciag arytm. sklada sie z 7 wyrazow. Wyraz srodkowy tego ciagy wynosi 11.Iloczyn wyrazow pierwszego i ostatniego jest rowny 23.Znajdz wyraz pierwszy i roznice tego ciagu.
a4=11
a1*a7=23
a4=a1+(n-1)r
11=a1+(4-1)r
11=a1+3r
a1=11-3r
a7=a1+6r=11-3r+6r=11+3r

(11-3r)(11+3r)=23
121+33r-33r-9r2=23
121-23=9r2
98=9r2 /:9

9) Ciag arytm. sklada sie z 6 wyrazow.Suma wyrazow skrajnych tego ciagu wynosi 17.Iloczyn wyrazow srodkowych jest rowny 70.Znajdz ten ciag.
a1+a6=17
a3*a4=70
a6=a1+5r
a3=a1+2r
a4=a1+3r
a1+a1+5r=17
2a1+5r=17/:2
a1=8,5-2,5r
(8,5-2,5r+2r)*(8,5-2,5r+3r)=70
(8,5-0,5r)(8,5+0,5r)=70
72,25+4,25r-4,25r-0,25r2=70
72,25-70=0,25r2
2,25=0,25r2 /:0,25
r2=9
r=3
a1=8,5-2,5*3
a1=8,5-7,5
a1=1
a2=4
a3=7
a4=10
a5=13
a6=16

10) Ciag arytm. rosnacy ma 10 wyrazow.Suma 2 wyrazow srodkowych tego ciagu jest rowna 28.Iloczyn wyrazow skrajnych wynosi 115.Znajdz ten ciag.
a5+a6=28
a1*a10=115
a5=a1+4r
a6=a1+5r
a10=a1+9r
a1+4r+a1+5r=28
2a1+9r=28 /:2
a1=14-4,5r
(14-4,5r)(14-4,5r+9r)=115
196-115=20,25r2
81=20,25r2 /:20,25
r2=4
r=2
a1=14-4,5*2
a1=14-9
a1=5
a2=5+2=7
a3=9
a4=11
a5=13
a6=15
a7=17
a8=19
a9=21
a10=23

11) Suma 3 liczb tworzacych ciag arytm. wynosi 2.Znajdzte liczby jesli wiesz,ze tworza ciag arytm. a suma ich odwrotnosci jest rowna 5½
12) 3 liczby tworza ciag arytm. o roznicy 4. znajdz te liczby wiedzac ze ich iloczyn wynosi -24.