Question

Hallar el valor de n para que las raíces de la ecuación dada, sumen cero:
(x^2+3x)/(5x+2)=(n-1)/(n+1)

Answer 1

(x²+3x) / (5x+2)=(n-1) / (n+1)
Entonces:
(n+1).(x²+3x)=(n-1).(5x+2)
nx²+x²+3nx+3x=5nx+2n-5x-2
nx²+x²+3nx+3x-5nx+5x-2n+2=0
(n+1).x²+(-2n+8).x+(-2n+2)=0
Resolvemos la ecuación de 2º grado:
 x= [ (2n-8) ⁺₋√[(-2n+8)²-4.(n+1).(-2n+2)]] / 2.(n+1)
Para simplificar a esto :√[(-2n+8)²-4.(n+1).(-2n+2)]] le voy a llamar "Δ".
De tal forma que las racices son:

x₁=[(2n-8)+Δ] / 2.(n+1)
x₂=[(2n-8)-Δ] / 2.(n+1)

Si sumamos x₁ y x₂, nos tiene que dar igual a "0":
x₁+x₂=0
Entonces:
[(2n-8)-Δ] / 2.(n+1)]  +  [(2n-8)+Δ] / 2.(n+1)]=0
(4n-16) / 2.(n+1)=0
(2n-8) / (n+1)=0
Para que de "0"; el numerador tiene que ser igual a "0", por tanto:
2n-8=0
n=8/2=4


Comprobación:
(x²+3x) / (5x+2)=(4-1)/(4+1)
(x²+3x) / (5x+2)=3/5
5.(x²+3x)=3.(5x+2)
5x²+15x=15x+6
5x²-6=0
x=⁺₋√(6/5)

x₁+x₂=-√(6/5)+√(6/5)=0


Sol: n=4, y las racices son x₁=-√(6/5) y x₂=√(6/5).

Answer 2

Un gusto espero que te sirva :)