Question

1.Zbadaj monoteicznosc ciagu o wyrazie an=2n+3/n+1
2.Dla jakich wartosci n liczby 2n-1, 2n+3, 2n+7 tworza ciag arytmetyczny?
3.Liczby a, b, 7 tworza ciag arytmetyczny, liczby zas a, b, -9 ciag geometryczny znajdz liczby a oraz b
4.Oblicz sume wszystkich liczb dwucyfrowych, ktore przy dzieleniu przez 5 daja reszte 3
5.Trzy liczby, ktorych suma jest rowna 21 tworza ciag geometryczny. Liczby te sa odpowiednio pierwszym, drugim i czwartym wyrazem ciagu arytmetycznego. Znajdz te liczby

Answer 1

Z.1
an = (2n + 3)/(n + 1)
an+1 = [ 2*(n +1) + 3]/[(n +1) + 1] = (2n +5)/(n +2)
an+1 - an = (2n + 5)/(n +2) - (2n + 3)/(n +1) = = ... =
= -1/[ (n +1)*(n +2)] < 0 dla dowolnej liczby n ∈ N.
Ciąg an jest malejący.
np. a1= 5/2
a2 = 7/3
a3 = 9/4
a4 = 11/5
z.2
2n - 1, 2n +3 ,2n + 7 - tworzą ciąg arytmetyczny dla dowolnej
liczby naturalnej n, bo
[2n + 3] - [2n - 1] = 3 + 1 = 4
[2n + 7] - [ 2n + 3] = 7 - 3 = 4
r = 4 > 0
z.3
a,b, 7 - ciąg arytmetyczny
a,b, - 9 - ciąg geometryczny
zatem
b = [a + 7]/2 ---> 2b = a + 7 --> a = 2b - 7
oraz
b/a = -9/b ---> b² = -9 a
czyli b² = -9*(2b - 7 )
b² = -18 b + 63
b² + 18 b - 63 = 0
Δ = 18² - 4*1*(-63) = 324 + 252 = 576
√Δ = 24
b = [ -18 - 24]/2 = - 42/2 = - 21
lub
b = [ -18 + 24]/2 = 6/2 = 3
a = 2*(-21) -7 = -42 - 7 = -49
lub
a = 2*3 - 7 = 6 - 7 = -1
Odp. a = -49 oraz b = -21
lub a = -1 oraz b = 3
z.4
Są to liczby typu:
an = 5n + 8
Jest to ciąg arytmetyczny o różnicy r = 5, bo
an+1 - an = [ 5*(n +1) + 8] - [5n + 8] = [5n +13] - [5n + 8] = 5

a1 = 5*1 + 8 = 5 + 8 = 13
5n + 8 < 100
5n < 100 - 8 = 92
n < 92 : 5 = 18,4
czyli n = 18
a18 = 5*18 + 8 = 98

Suma takich liczb:
S18 = (1/2)*(a1 + a18)*18 = 9*(13 + 98) = 9*111 = 999
Odp. Suma liczb dwucyfrowych, które przy dzieleniu przez 5
dają resztę 3 jest równa 999.
z.5
x,y, z - szukane liczby
mamy
x + y + z = 21
x,y, z - ciąg geometryczny
oraz y - x = r oraz z - y = 2r ---> z - y = 2*(y - x )
--------------------------------------------------------------
Mamy więc
x + y + z = 21 ---> z = 21 - x - y
y/x = z /y ---> y² = x* z
z - y = 2 * ( y - x )
-----------------------------------
y² = x *(21 - x - y) = 21 x - x² -xy
21 - x - y - y = 2y - 2x
------------------------------------
y² = 21 x - x² - xy
21 - x - 2y = 2y - 2x
-------------------------------
y² = 21 x - x² - xy
x = 4y - 21
-------------------------
y² = 21*(4y - 21) - (4y - 21)² - (4y - 21)*y
y² = 84y - 441 -[16y² - 168y + 441] -[4y² - 21y]
y² +16y² +4y² -84y - 168y -21y + 882 = 0
21y² - 273 y + 882 = 0 / : 21
y² - 13y + 42 = 0
Δ = (-13)² -4*1*42 = 169 - 168 = 1
√Δ = 1
y = [13 - 1]/2 = 12/2 = 6
lub
y = [ 13 +1]/2 = 14/2 = 7
zatem x = 4*6 - 21 = 24 - 21 = 3
lub x = 4*7 - 21 = 28 - 21 = 7
oraz z = 21 - x - y = 21 - 3 - 6 = 12
lub z = 21 - 7 - 7 = 7
Odp. x = 3, y = 6, z = 12
lub x = 7, y = 7, z = 7 ( wtedy mamy : ciąg geometryczny stały oraz ciąg arytmetyczny stały, tzn, q = 1 oraz r = 0 ).

Answer 2

1.Zbadaj monoteicznosc ciagu o wyrazie an=2n+3/n+1 an=2n+3/n+1 an+1=2n+5/n+2 an+1-an=2n+5/n+2-2n+3/n+1=(2n+5)(n+1)-(2n+3)(n+2)/(n+2)(n+1)= (2n^2+2n+5n+5-2n^2-4n-3n-6)/(n+2)(n+1)=(5-6)/(n+2)(n+1) to ciąg jest malejący 2 2n-1, 2n+3, 2n+7 2(2n+3)=2n-1+2n+7 4n+6=4n+6 dla kazdej liczby naturalnej n 3 2b=a+7 b^2=-9a b^2=-9(2b-7) b^2=-18b+63 b^2+18b-63=0 delta=324+252=576 pierwiastek z delta=24 b=3 lub b=-21 wtedy: a=-49 lub a=-1 4 13+18+23+...+98=(13+98)/2*18=111*9=999 5 a+b+c=21 b=a+r c=a+3r b^2=ac (a+r)^2=a(a+3r) a^2+2ar+r^2=a^2+3ra 2ar+r^2=3ra r^2=ra /:r r=a a+2a+4a=21 7a=21 a=3 r=3 te liczby to: 3;6;12