Question

Jaime esta armando un sistema mecanico para regadio y requiere un piñon basado en un poligono regular. Su ultima prueba determino que es necesario aumentar un lado del poligono regular base, con lo que el angulo interior del poligono regular aumenta en 12 grados. Si en cada lado del poligono se forma un diente. ¿ cual es el numero de dientes que tendra el piñon? Considere que el angulo interiorbde un poligono es igual a 180grados(n-2)/n donde n representa el numero de ladosbdel poligono regular.

Answer 1

Fórmula para el ángulo interior del polígono regular de n lados:

ángulo = 180° (n - 2) / n

Cuando n aumenta en 1:

ángulo aumentado = 180° (n + 1 - 2) / (n + 1) = 180° (n - 1) / (n +1)

El enunciado dice que el ángulo aumenta en 12°, por tanto:

180° ( n - 1) / ( n + 1) - 180° ( n - 2) / n = 12°

Divide ambos miembros entre 12°:

15 (n - 1) / (n + 1) - 15 (n - 2) / n = 1

Multiplica ambos miembros por n (n + 1):

15 (n -1) n - 15 (n -2) (n+1) = n (n +1)

Expande los productos (propiedad distributiva):

15n^2 - 15n - 15n^2 + 15n + 30 = n^2 + n

Traspón términos y suma términos semejantes:

n^2 + n - 30 = 0

Factoriza:

(n + 6) (n - 5) = 0 => n = -6 y n = 5.

El único resultado válido es el postivo, por tanto n = 5.

Quiere decir que el polígono tenía 5 lados y al aumentarse quedó en 6 lados.

Eso significa, que el piñón tendrá 6 dientes.