Question

M i n są różnymi liczbami całkowitymi dodatnimi. Uzasadnij, że odwrotność liczby A jest liczbą naturalną.
Wskazówka: Uzasadnij, że A=1/n.

Answer 1

Odpowiedź:

poniżej

Szczegółowe wyjaśnienie:

[tex]A=\dfrac{2}{n-m}+\left(\dfrac{n}{m}+2+\dfrac{m}{n}\right)\cdot\dfrac{m}{m^2-n^2}=\\[5]\dfrac{2}{n-m}+\left(\dfrac{n^2+2mn+m^2}{m\cdot n}\right)\cdot\dfrac{m}{(m-n)\cdot (m+n)}=\\[5]\dfrac{2}{n-m}+\dfrac{(m+n)^2}{m\cdot n}\cdot\dfrac{m}{(m-n)\cdot (m+n)}=\\[5]\dfrac{2}{n-m}+\dfrac{(m+n)}{n(m-n)}=\dfrac{(m+n)-2\cdot n}{n(m-n)}=\dfrac{1}{n}[/tex]

Upraszczając wyrażenie, otrzymaliśmy:

[tex]A=\dfrac{1}{n}[/tex]

Natomiast odwrotność liczby A:

[tex]\dfrac{1}{A}=n[/tex]

co z treści zadania jest liczbą całkowitą dodatnią - a więc naturalną