ZADANIE 1 Wyznacz ciąg arytmetyczny ,mając a₁₀=6 i a₁₅=9 ZADANIE 2 Oblicz log₃ 162 - log₃ 2 = ZADAN.... Question from @Kasiachuda

January 2019 1 18 Report

ZADANIE 1
Wyznacz ciąg arytmetyczny ,mając a₁₀=6 i a₁₅=9
ZADANIE 2
Oblicz log₃ 162 - log₃ 2 =
ZADANIE 3
Zbadaj monotoniczność ciągu an= 1/ n-1
ZADANIE 4
Oblicz x korzystając z własności logarytmu : log₆ x =log₆ 54+log₆ 4

unicorn05 1.
$a_{10} = 6, \quad\quad a_{15}=9\\\\
a_{15}-a_{10} =9-6=3\\
a_{15}-a_{10} =a_1+14r-(a_1+9r)=a_1+14r-a_1-9r=5r\\\\5r=3 \qquad \Rightarrow \qquad r= \frac{3}{5}\\\\a_{10}=a_1+9r\\6=a_1+9\cdot \frac{3}{5}\\a_1=6-\frac{27}{5}=\frac{3}{5}$

$a_n=a_1+(n-1)r\\ \\a_n=\frac{3}{5}+(n-1)\cdot \frac{3}{5}\\\\a_n=\frac{3}{5}+\frac{3}{5}n-\frac{3}{5}\\\\a_n=\frac{3}{5}n$

2.
$log_3162-log_32=log_3 \frac{162}{2}=log_3 81=log_3 3^4=4log_33=4$

3.
Ciąg (an) jest rosnący jeśli różnica między następnym a poprzednim wyrazem ciągu jest większa od zera, a malejący gdy jest mniejsza
W dwóch wersjach:
I.
$a_n= \frac{1}{n-1} \qquad\qquad\qquad\qquad n \in \mathbb{N^+} \quad \wedge \quad n \neq1
\\\\a_{n+1}-a_n=\frac{1}{n+1-1}-\frac{1}{n-1}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n-1}=\frac{n-1}{n(n-1)}-\frac{n}{n(n-1)}=\frac{1}{n(n-1)}$

ponieważ n jest większe od 1, to wyrażenie n(n-1) jest zawsze większe od zera
czyli:
$a_{n+1}-a_n=\frac{1}{n(n-1)}$ jest dodatnie, co oznacza, że ciąg jest rosnący

II.
$a_n= \frac{1}{n}-1 \qquad\qquad\qquad\qquad n \in \mathbb{N^+}
\\\\a_{n+1}-a_n =\frac{1}{n+1}-1-(\frac{1}{n}-1)=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}=\frac{n}{n(n+1)}-\frac{n+1}{n(n+1)}= \frac{-1}{n(n+1)}$

ponieważ n∈N+ to wyrażenie n(n+1) będzie zawsze większe od zera
czyli różnica:
$a_{n+1}-a_n= \frac{-1}{n(n+1)}$ jest mniejsze od zera

To oznacza, że dany ciąg jest malejący

4.
$log_6 x=log_6 54+log_64\\\\log_6x=log_6(54\cdot4)\\\\log_6x=log_6216\\\\x=216$

1 votes Thanks 1