Jaką minimalną prędkość należy nadać ciału znajdującemu się na Ziemi by dotarło ona na Księżyc? Dane.... Question from @Izabella96

December 2018 1 30 Report

Jaką minimalną prędkość należy nadać ciału znajdującemu się na Ziemi by dotarło ona na Księżyc?
Dane mamy: Rz, Rk, Mz/Mk=81, dzk i Mz

Proszę o rozwiązanie z wytłumaczeniem

daję naj!

dominnio Aby ciało dotarło na Księżyc wystarczy nadać mu taką prędkość, żeby osiągnęło punkt w którym siła grawitacji Księżyca jest większa niż siła grawitacji Ziemi, bo wtedy "resztę roboty" zrobi za nas Księżyc.

Zorientujmy się gdzie jest ten punkt.
$\gamma _Z\leq \gamma_K\\\\
G \frac{M_z}{x^2} \leq G \frac{M_k}{(d-x)^2} \\\\
 \frac{M_z}{M_k} \leq \frac{x^2}{(d-x)^2} \\\\
81 \leq \frac{x^2}{(d-x)^2} \\\\
9 \leq \frac{x}{d-x} \\\\
9d-9x \leq x\\\\\
x \geq \frac{9}{10} d$

Zatem już wiemy, że ciało trzeba "dorzucić" na odległość $\frac{9}{10}\ d$ od środka Ziemi.

Policzy energią mechaniczną tego ciała na powierzchni Ziemi (ciało ma energię potencjalną od Księżyca, energię potencjalną od Ziemi i energię kinetyczną, którą mu nadajemy) :
$E_0=- \frac{GM_zm}{R_z} - \frac{GM_km}{d-R_z} + \frac{mv^2}{2}$

Teraz policzmy energię ciała w punkcie odległym o $\frac{9}{10}\ d$ od środka Ziemi. (Ciało ma energię potencjalną od Ziemi, energię potencjalną od Księżyca i nie ma energii kinetycznej, ponieważ liczymy sytuację graniczną).
$E_k=- \frac{GM_zm}{ \frac{9}{10}d } - \frac{GM_km}{ \frac{1}{10}d } +0$

Zgodnie z zasadą zachowania energii $E_0=E_k$
$- \frac{GM_zm}{R_z} - \frac{GM_km}{d-R_z} + \frac{mv^2}{2} =- \frac{GM_zm}{ \frac{9}{10}d } - \frac{GM_km}{ \frac{1}{10}d } +0\\\\
 v^2 = \frac{2GM_z}{R_z} + \frac{2GM_k}{d-R_z}- \frac{2GM_z}{ \frac{9}{10}d } - \frac{2GM_k}{ \frac{1}{10}d } \\\\
v=\sqrt{ \frac{2GM_z}{R_z} + \frac{2GM_z}{81\cdot (d-R_z)}- \frac{2GM_z}{ \frac{9}{10}d } - \frac{2GM_z}{ 81\cdot \frac{1}{10}d } }
$

To wszystko, można ewentualnie podstawić dane, ale moim zdaniem mija się to z celem. Zadanie podaje nam dane w literkach, to wynik też jest w literkach.