Question

Miary kolejnych kątów wielokąta wypukłego tworzą ciąg arytmetyczny (an), gdzie r=10⁰. Najmniejszy kąt tego wielokąta ma miarę 100⁰. Ile boków ma ten wielokąt.
a). Napisz wzór na n-ty wyraz tego ciągu
b). Wykaż, że ciąg (an) jest arytmetyczny
c). Oblicz sumę stu początkowych wyrazów ciągu (bn) utworzonego z wyrazów o numerach nieparzytych z ciągu (bn)

Answer 1

Zapamiętaj.
Suma miar kątów:
- w każdym trójkącie 180*

- w każdym czworokącie 180 + 180 = 360*

- w każdym pięciokącie 360 + 180 = 540*

- w każdym sześciokącie 540 + 180 = 720*

siedmiokącie 720 + 180 = 900 stopni
ośmiokącie 900 + 180 = 1080 stopni

itd.

A te miary kątów z zadania tworzą ciąg arytmetyczny:

a¹ = 100
r = 10

czyli a₂ = a₁ + r = 110

a₃ = 120

dodajesz 100 + 110 + 120 + 130 + ...

patrzysz na wynik i jak będzie 540, 720, 900, lub 1080 itd to kończysz dodawać wyrazy i liczysz ile ich było:
jak będzie np. 640 to liczysz dalej, bo nie ma takiej sumy miar kątów w wielokącie. Musi być 540, 720, 900, lub 1080 lub każda wielokrotność 180.

wyjdzie, że suma będzie 1080, a więc ten wielokąt to 8-kąt, czyli n=8. Ma 8 boków.